董振乐，姚建勇，马大为

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094）

输入受限时电机伺服系统渐近跟踪控制

董振乐，姚建勇，马大为

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094）

参数不确定性、不确定非线性（特别是非线性摩擦）以及输入受限等非线性问题在电机伺服系统中广泛存在，针对以上诸多问题，建立了包含连续可微摩擦模型的系统数学模型，提出了一种基于误差符号积分鲁棒控制器的新型控制方法。该方法能实现在输入受限时和外干扰作用下的渐近跟踪。采用Lyapunov函数从理论上证明控制器的渐近稳定性。仿真对比结果表明，该控制方法在输入受限时展现了优良的跟踪精度和响应速度，且具有较强的鲁棒性。

控制科学与技术；电机伺服系统；误差符号积分鲁棒；输入受限；渐近跟踪；建模不确定性；连续摩擦补偿

0 引言

电机伺服系统具有响应速度快、维护方便、传动效率高及能源获取方便等突出优点，在工业和国防领域得到了广泛的应用［1-3］。近年来这些领域的蓬勃发展，使得对新型电机伺服系统控制器的需求变得迫切，以满足越来越苛刻的性能指标。

电机伺服系统存在诸多的模型不确定性，包括参数不确定性（如电气增益、随温度及磨损变化的摩擦特性参数等）和不确定非线性（如未建模外干扰、非线性摩擦［4］、输入受限等），这些不确定性的存在，给控制器的设计带来很大难度。

针对以上诸多复杂问题，先进控制策略的研究工作已大量开展，目前常用的控制方法有自适应［3］、滑模［5］、自适应鲁棒［6-7］、误差符号积分［8-9］等。自适应控制对参数不确定性和不确定非线性中的可参数化部分，可以有效地估计并实现一定的模型补偿［2］，然而对于不可参数化的不确定非线性项，自适应控制无能为力，这一定程度上限制了其在高精度跟踪控制场合的适用性；滑模控制方法简单，且对于存在有界干扰的系统可以实现渐近的跟踪控制，然而滑模控制器中不连续符号函数所带来的颤振现象，易导致系统控制性能的衰减，甚至容易激发系统的高频未建模动态［5］，造成系统失稳，现有的改善滑模抖动措施的控制方法较少且复杂；自适应鲁棒控制兼顾了系统的参数不确定性和不确定非线性，在工业领域得到了较好的尝试［6-7］，然而自适应鲁棒控制中的鲁棒项，其设计依赖于所有不确定项的最大上界，这必然带来高增益反馈的保守性，当外干扰逐渐增大时，这种保守型将愈发明显，此外在干扰存在的情况下，自适应鲁棒控制器只可实现有界稳定；误差符号积分鲁棒控制可以实现存在不确定非线性的情况下的渐近跟踪控制［8］，在机械手［9］、电液伺服系统［10］上得到了很好的应用。然而，以上各控制方法在应用时对于系统输入受限并未考虑。

输入受限是指由于实际系统限制（如伺服驱动器的输入电压幅值限制、特殊工作场合的需求等），系统的输入电压需要满足一定的范围。然而在实际系统中，倘若出现诸如初始位置不匹配、突然过载等恶劣工况，常常会导致输入电压在某一段时间突然增大，超出所限制的范围，一旦发生类似情况，必然导致基于正常工况设计的控制器的控制性能受损，最终影响系统的跟踪性能。因此在控制器设计时有必要考虑输入受限问题。针对系统输入受限问题，目前主要的解决方法有抗饱和设计［11］和模型预测控制［12］等。抗饱和设计常常需要对系统信号施加特定约束，由此必然带来控制器设计的保守性；而模型预测控制器往往难以兼顾系统参数不确定性和不确定非线性，这限制了其对于一般电机伺服系统的适用性。文献［13］针对直线电机伺服系统，同时考虑了系统参数不确定性和不确定非线性，设计了输入受限控制器，然而其在理论上只能保证有界稳定。文献［14］在误差符号积分鲁棒控制器的基础上，采用双曲正切函数，实现了输入受限时系统的渐近稳定控制，然而文献［14］中对于系统参数不确定性并未考虑。

本文针对电机伺服系统，首先建立包含连续可微摩擦模型［15］的系统数学模型，同时考虑系统参数不确定性和不确定非线性，然后在误差符号积分鲁棒控制器的基础上，采用双曲正切函数［14］，对系统控制量幅值进行了合理规划，不仅实现了在系统参数不确定性和不确定非线性存在下的渐近跟踪性能，同时避免了因输入受限导致的控制器失效，最后仿真对比结果验证了控制器的有效性。

1 问题描述及数学模型

本文所考虑电机伺服系统原理图如图1所示，由伺服驱动器驱动伺服电机直接带动惯性负载做旋转运动。由于系统电气部分响应速度远远高于机械部分，故本文建模时将忽略电流环动态［3］，根据牛顿第二定律，系统动力学方程为

式中：m为惯性负载，ki为电压力矩增益；Δ为未建模干扰项；为非线性摩擦项，其具体形式为

式中：r1、r2、r3为表征摩擦特性的权重因子；s1、s2、s3为表征不同摩擦部分的形状因子。该连续摩擦模型可以较好地逼近系统低速运动时的Stribeck效应［4］。

图1 电机伺服系统原理示意图Fig.1 Schematic diagram of motor servo system

式中：θ1=r1/ki；θ2=r2/ki；θ3=r3/ki；f1（x2）= tanh（s1x2）-tanh（s2x2）；f2（x2）=tanh（s3x2）；为已知等效惯性负载。

在控制器设计之前，先作以下假设［8］：时变非线性项d（t）存在2阶导数，且1阶、2阶导数均有界，即满足，，σ1和σ2为已知常数。

2 控制器设计

定义如下系列误差量：

式中：x1d为位置跟踪指令；z1=x1-x1d为系统跟踪误差；r和zf为辅助误差量，用于随后的控制器设计，其中r不出现在最终控制律中；k1、k2、kr1、kr2均为正的反馈增益。

结合（3）式和（4）式可得

式中：

设计系统控制输入为

式中：ua表示模型补偿控制器；us表示鲁棒控制器；ν表示虚拟辅助控制量；β表示正的可调参数；γ1表示一个正实数用于调节鲁棒控制器；表示系统各未知参数估计值；表示参数自适应律；Γ表示自适应回归参数对角矩阵；，表示基于指令的参数回归器。

由于信号r中含有较难获取的加速度信息，所以实际应用时参数估计值的计算方法如（7）式中第6个式子所示。

分析（7）式中系统控制器的构成可知：模型补偿控制器ua仅与参数估计和指令及其各阶导数有关，必然始终有界；由性质-1≤tanh（ν）≤1可知鲁棒控制器us也始终有界，且上界可由参数γ1调节，从而保证了控制输入始终稳定在已知界内。

将（7）式代入（5）式，可得

定义Lyapunov函数如下：

式中P的选取如（11）式［8］：

结合（4）式和（11）式可知（12）式成立［2，8］：

显然，若选取β≥（σ1+σ2/k2）/γ1，可保证P始终非负，则Lyapunov函数（9）式成立。进一步对（9）式求导可得

其证明过程如下：

首先，由（4）式可得

根据中值定理可得［2］

将（11）式、（16）式以及（7）式中设计的自适应律代入（13）式，进一步可得

式中：矩阵Λ的定义为

矩阵Λ中各参数定义如下：

通过合理的设计参数k1、k2、kr1、kr2、γ1使矩阵Λ为正定矩阵，可使（20）式成立：

式中：λmin（Λ）表示矩阵Λ的最小特征值。分析（20）式可知V有界，同时W∈L2，进而可知误差量z1、z2、r、tanh（zf）均有界，结合（3）式、（4）式、（8）式可知，系统中所有信号均有界，从而可知有界，由Barbalat引理可知［3］，当t→∞，W→0，也即z1→0，从而实现在输入受限时的渐近跟踪控制。

本文设计的控制器的示意图如图2所示。

图2 控制器示意图Fig.2 Block diagram of the proposed control algorithm

3 仿真结果及分析

电机伺服系统惯性负载：m=0.01 kg·m2；电压力矩增益：ki=5 N·m/V；摩擦特性的权重因子：r1= 0.1 N·m，r2=0.05 N·m，r3=1.025 N·m；摩擦形状因子［4］：s1=700 s/rad，s2=15 s/rad，s3=1.5 s/rad.

为了充分验证本文控制方法对于存在输入受限的电机伺服系统的有效性，选取工程实际中大量使用的PID控制器作为对比进行仿真验证，其各参数由Matlab自带的PID工具箱自整定得到。

系统跟踪位置指令选取为：x1d= 2［sin（0.5πt）］［1-exp（-0.1t2）］（如图3所示）；系统外干扰的选取为d=0.5sin（πt）.

图3 位置跟踪指令Fig.3 Position tracking trajectory

本文设计控制器（7）式（记为SARISE）各参数选取为：反馈增益参数：k1=3，k2=700，kr1=1，kr2=1.2；鲁棒项调节增益为：γ1=10；自适应回归参数：Γ1=2×10-4，Γ2=6.5×10-4，Γ3=7.5×10-3；参数β=0.1.

选取系统控制输入电压约束值为|u|≤2 V，系统初值位移x1（0）=1 rad.

仿真对比结果如图4～图6所示。

图4 控制输入Fig.4 Control input

图5 跟踪误差Fig.5 Tracking error

图6 各参数估计值Fig.6 Estimates of the parameters

图4代表系统控制输入对比曲线，从图4中可以看出：PID控制器在初始段出现了较大的震荡，这是因为控制输入电压约束值的存在，而不匹配的初始状态使得PID控制器下的控制量在初始段超过了该约束值；本文提出控制方法中双曲正切函数可实现对控制量较好的规划作用，从而保证控制输入在冒犯输入约束值能及时降幅并稳定在系统允许的约束值之内。稳态段两控制器无明显差别。

图5给出系统跟踪误差对比曲线，从中可以看出：由于初始段的输入震荡，PID控制器下的跟踪误差在初始段出现较大抖动，而本文提出控制方法在初始段较平滑；对比稳态段的跟踪精度，PID控制器下跟踪误差大约为0.001 rad，而SARISE控制器作用下的跟踪误差仅为0.000 4 rad，显然其控制效果明显优于PID控制器。

图6给出了系统各参数的估计值，显然在本文设计自适应律作用下，系统运行一段时间后，各参数实现了很好的收敛并趋于稳定。需要指出的是，对于参数θ2的估计值，虽图6中并未完全稳定收敛，但整体趋势已经趋于收敛。参数θ2估计曲线中的毛刺现象，是由于采用了相对较大的自适应增益所致，但这并不影响对参数θ2估计收敛性的判断。

4 结论

本文提出一种新型电机伺服系统控制策略，同时考虑了非线性摩擦、未建模干扰、输入受限等诸多不确定非线性。首先建立了包含连续可微摩擦模型的电机伺服系统数学模型，同时考虑系统参数不确定性和不确定非线性；然后针对未建模干扰和输入受限问题，在误差符号积分鲁棒控制器的基础上，采用双曲正切函数对控制量进行了合理约束，不仅实现了在参数不确定性和不确定非线性存在下的渐近跟踪性能，同时避免了因输入受限导致的控制器失效；最后通过与传统PID控制器的仿真对比，较好地验证了控制器的有效性。本文结论对电机伺服系统的新型控制策略的探索具有一定参考价值。

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Asymptotic Tracking Control of Motor Servo System with Input Constraint

DONG Zhen-le，YAO Jian-yong，MA Da-wei
（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

Parameter uncertainties，uncertain nonlinearities（especially the nonlinear frictions）and input constraint are the common problems existing in motor servo systems.For the above problems，a new method，based on the robust integral of the sign of error（RISE）design，is proposed to achieve the asymptotic tracking performance in the presence of parameter uncertainties，uncertain nonlinearities and input constraint.The stability of asymptotic tracking is proved via the Lyapunov analysis.Simulation results illustrate that the proposed approach can be used to achieve the excellent response speed and tracking performance under input constraint，and has a strong robustness.

control science and technology；motor servo system；robust integral of the sign of error；input constraint；asymptotic tracking；modeling uncertainty；continuous friction compensation

TJ393

A

1000-1093（2015）08-1405-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.08.005

2014-10-11

国家自然科学基金项目（51305203）；江苏省自然科学基金项目（BK20141402）；江苏省普通高校研究生科研创新计划项目（KYLX_0397）

董振乐（1988—），男，博士研究生。E-mail：dong_zhenle@163.com；马大为（1953—），男，教授，博士生导师。E-mail：ma-dawei@mail.njust.edu.cn