线段上连续非混沌自映射某类点的轨迹

2015-11-17赵勇

西华师范大学学报（自然科学版） 2015年2期

赵勇

(西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637009)

一维动力系统，特别是线段Ⅰ上的自映射的研究近50年来发展迅速，已经成为动力系统领域中一个不可忽视的分支．尽管如此，对线段上自映射迭代的研究，还有很多不完善的地方亟待发展和突破．其中之一就是“混沌的本质是什么［1］”．对此问题，人们已从多个角度得到了若干充分条件或必要条件［1-8］．本文将在前文［4-5］研究的基础上，继续从ϖ-极限点的轨迹特点来考虑这一问题．文中出现的符号参见文献［4］．

1 预备知识

引理1［4］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，f 的周期点集P(f)不是闭集，则ω(f)-P(f)≠Ø．

引理2［2］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，则以下条件等价:

(1)f 的周期点的周期都是2 的方幂;

(2)对任意X∈Ω(f)-P(f)，都有ω(X，f)∩P(f)=Ø;

引理3 设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，f 的周期点集P(f)不是闭集且只有2 的方幂的周期点，则对任意的X∈Ω(f)-P(f)，{fn(X)}n=1，2，…，不能为单调或最终单调数列．

证明:根据引理1，∃X∈ϖ(f)-P(f)，下面用反证法证明:假设{fn(X)}为单调或最终单调数列，则必存在m∈N*，使fm(X)，fm+1(X)，fm+2(X)，…为单调数列，故必存在f 的不动点T，使ω(X，f)={T}，这与引理1 矛盾．

引理4［4］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在m∈N*，使得:

fm+1(X)＞fm+2(X)＞fm(X)＞fm+3(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

引理5［4］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在m∈N*，使得:

fm+1(X)＜fm+2(X)＜fm(X)＜fm+3(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

引理6［6］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在m∈N*，使得:

fm+3(X)＜fm+2(X)＜fm(X)＜fm+1(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

引理7［4］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在m∈N*，使得:

fm+3(X)＞fm+2(X)＞fm(X)＞fm+1(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

引理8［4］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在m∈N*，使得:

fm+2(X)＜fm+3(X)＜fm(X)＜fm+1(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

引理9［4］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在m∈N*，使得:

fm+2(X)＞fm+3(X)＞fm(X)＞fm+1(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

引理10［5］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在mi∈N*(当i→+∞时，mi→+∞)，使得:fmi(X)＜fmi+3(X)＜fmi+2(X)＜fmi+1(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

引理11［5］设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，X∈ω(f)-P(f)，若存在mi∈N*(当i→+∞时，mi→+∞)，使得:fmi(X)＞fmi+3(X)＞fmi+2(X)＞fmi+1(X)，则f 在Ⅰ上混沌．

2 主要结论

定理1 设f 为线段Ⅰ上的连续自映射，周期点集不闭且f 在Ⅰ上只有2 的方幂的周期点，则对任意X∈ω(f)-P(f)，orbf(X)具有统一的规律(见证明结尾)．

证明:对∀X∈ϖ(f)-P(f)，由引理2 知X 不能为f 的最终周期点，又由引理3 知{fn(X)}n =1，2，…，不能为单调或最终单调数列，从而对任意的k∈N*，总存在m≥k，使下面16 种情况必有其中之一成立．

因为f 在Ⅰ上只有2 的方幂的周期点，根据引理4 -11，存在k1∈N*，使得当m ＞k1时，1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、3(1)、3(2)、4(1)、4(2)8 种情况必有其一出现无限次，而1(3)、1(4)、2(3)、2(4)、3(3)、3(4)、4(3)、4(4)一次也不会出现．

若当m ＞k1，情况1(1)出现，则有fm+2(X)＜fm+3(X)＜fm+1(X)，用m 代替m+1 得fm+1(X)＜fm+2(X)＜fm(X)，由于f 在Ⅰ上无非2 方幂的周期点，则根据前面的讨论，1(1)中迭代指标中最大的三项fm+1(X)、fm+2(X)、fm+3(X)之间的大小关系只能为4(1)或4(2)中迭代指标中最小的三项，我们把这种后接关系记为：

对1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、3(1)、3(2)、4(1)、4(2)中的任一情况出现时，只能按上面链接方式进行下去，f在Ⅰ上才可能无非2 方幂的周期点，在这种链接方式下，{fn(X)}n =1，2，…，总是按“递增然后递减”或“递减然后递增”的规律无休止地进行下去，即不允许在当m ＞k1之后，存在连续三项具有如下形式:fm(X)＜fm+1(X)＜fm+2(X)或fm(X)＞fm+1(X)＞fm+2(X)，实际上，对任意固定的自然数t，存在正整数kt∈N*，当m＞kt时，fm(X)、fm+t(X)、fm+2t(X)、fm+3t(X)，…，也有上述当t =1 时的性质，即:①具有“* ”标明的链接关系;②{fn(X)}的子集{fm+it(X)}，i=0，1，2，…中的点fm+it(X)总是按照i 值递增的顺序严格按照递增然后递减”或“递减然后递增”的规律无休止地进行下去;③不会出现连续三项具有如下形式:fm(X)＜fm+t(X)＜fm+2t(X)或fm(X)＞fm+t(X)＞fm+2t(X)

现取r=max{k1，k2}，则当m ＞r 时，不会出现

fm(X)＜fm+2(X)＜fm+4(X)或者fm(X)＞fm+2(X)＞fm+4(X) (* )

现讨论1(1)首次出现时，有以下链接关系: