定积分的背景：面积和路程问题

2015-11-15王瑰丽

新课程(中学) 2015年8期

关键词：估计值梯形背景

王瑰丽

（陕西省宝鸡市凤翔县彪角中学）

一、教学内容分析

课题：定积分的背景—面积和路程问题

课型：新授课

教材：《普通高中课程标准数学教科书·数学选修2-2》（北师大版）

教材分析：本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念。教材设计了3个实例：求曲边梯形的面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功。通过这些问题的解决，总结这些问题的解决思路：即通过分割求和、加细、减小误差，然后再提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心，为定积分概念的引入奠定了背景和方法的基础。

二、学情分析

从学生的思维特点看，会从物理角度对问题进行解决。这是积极因素，应因势利导。

教学对象是学生，虽然经过一年多的高中数学学习，具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

三、设计思想

《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。

四、教学目标

1.知识与技能：（1）了解定积分的实际背景。

（2）借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。

2.过程与方法：通过洞察不同背景问题中蕴涵的相同数学内涵的过程，领会如何先考虑得到近似解，然后再研究提高精确程度的定积分的解决问题的基本方法，提高从数学角度分析和看待问题的能力。

3.情感、态度与价值观：通过对不同背景下的问题用统一数学方法的揭示，认识数学与实际生活的联系，以及数学的广泛应用。

五、教学重点与难点

1.教学重点：对实际问题解决的分析（即如何通过分割、求和、取极限求出曲边梯形面积和变速直线运动物体的路程），这个过程是积分思想的灵魂。

2.教学难点：例题的分析及解题思路的总结提炼。

六、教学工具

借助多媒体

七、教学过程

（一）创设情境，提出问题

我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形面积呢？

1.曲边梯形定义

我们把如图由直线x=a，x=b（a≠b），y=0和曲线y=f（x）所围成的图形叫曲边梯形。

曲边梯形概念的理解：

（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形。

（2）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。

2.问题提出

问题1图中阴影部分由抛物线y=x2，直线x=1及x轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积S。

图1

图2

（二）操作探究

活动1：方案提出

引导学生回顾曾经用正多边形逼近圆的方法（即“以直代曲”的思想）求出了圆的面积，让学生初步形成“以直代曲”的思想，在具体“以直代曲”的过程中能通过小组讨论的方式提出多种方案。

活动2：方案落实

方案落实1：将区间［0，1］平均分成5份，如图所示。

图3

图4

在图3中所有小矩形的面积之和S1显然大于所求曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估计值，在图4中所有小矩形的面积之和S1显然小于所求曲边梯形的面积，我们称S1为S的不足估计值，有 S1=（0+0.22+0.42+0.62+0.82）×0.2=0.24

我们可以用s1或S1近似表示S，但是都存在误差，二者之差为S1-s1=0.2，但是无论是用s1还是S1来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，如图5所示。

图5

图6

方案落实 2：为减小误差，我们将区间［0，1］10等分，则所求面积的过剩估计值为 S2=（0.12+0.22+…+12）×0.1=0.385的解决过程是相似的，都是通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值。）