李江华

（广东理工学院，广东　肇庆　526100）

关于一致连续的判定与应用

李江华

（广东理工学院，广东肇庆526100）

本文以一致连续函数的判定与应用为研究对象，基于现有判定定理，分析函数一致连续的性质，增强一致连续的应用.

函数思想；函数方程式；一致连续；判定定理

1　引言

函数是构建中学数学的主旋律.而函数思想在高中数学的运用较多.它起到承上启下的作用.在考虑到相关运动变化、相依关系的同时，以一类状态过渡至研究变化的过程，从而确立相关的思想方式.在高中数学的范畴，关于不等式的研究，如何才能体现相应的函数思想，培养学生应用函数解决不等式的问题，进一步挖掘培养学生的思维深刻性.为此，我们必须从问题分析开始，对函数思想加以论述，并详细地探究.

2　函数的基本概念

2.1函数概念

对于函数的概念，我们可定义为，在一个变化的过程，设定两个变量，分别为x、y，对于x，均有唯一值y与之对应，即x为自变量，y是x的函数，而自变量x取值的集合，与x相应的y称为函数值域.从x→y，在相应的值域均有唯一的f（x）与它对应.它揭示的是定义域、值域与对应法则的关系.

2.2函数思想

运用函数思想，从概念入手，就其性质，对问题加以分析，将其转化为解决技巧.从问题开始，研究彼此之间的关系，运用数学语言，将因素转化为数学模式，从而将问题加以解决.基于方程的思想，结合方程组，对其求解，转换对应的关系，实现函数与方程的转化，从而实现方程组因式分解，得出结果.

笛卡尔方程思想是以问题为主，将数学问题转化为结果，因函数与多元方程区别较少.两者基本无差异.它围绕着二元函数，结合因变量与自变量，探究方程组的求解过程.

列方程、解方程和研究方程的特性，均是通过方程思想加以考虑的.函数方程确定的是数量之间的关系，而函数思想则通过问题的研究，体现着数学特征.函数模型的构建，研究相关的关系.按函数性质，对问题加以分解，结合不同性质，如奇偶性、单调增减、指数函数等.按不同组分的求解，基于显隐条件，构造相关的函数.从问题的现象透视本质，构建彼此之间的关联，构造相应的函数方程.经过变量之间的分析，确定对应的组分，从而研究不同函数之间的关系，挖掘其中的规律变化.

2.3一致连续函数性质

结合数学分析，函数一致连续性是重要的教学内容.它强调的是函数的连续性，基于区间的考虑，它表达的是函数在区间I的分布，而函数一致连续问题是连续函数的性质，基于微积分学的研究，函数的应用将较为重要的.

3　函数一致连续的判定与应用

3.1一致连续的定理

假设f（x）在［a,b］连续，那么判定f（x）在［a,b］是一致连续的.如果∀ε＞0，∃δ（ε）＞0，对于∀x1、x2∈［a,b］，则有|x1-x2|＜δ，推出|f（x1）-f（x2）|＜ε.那么，函数f（x）在闭区间［a,b］是一致连续的.基于一致连续判定，划分为不同的定理.如下所示：

3.2一致连续函数判定

基于3.1定理判断，判定一致连续函数的有效性.因区域连续且为有界函数，它在区域I是一致连续的.基于有限值的判断，结合函数的性质，判定其是否是一致连续的.因函数有界，且区间

例1设f（x）,g（x）均在区域I内一致连续且有界，证明：F（x）=f（x）g（x）也于I一致连续.

证明f（x）,g（x）有界，为此，M＞0，使|f（x）|＜M,|g（x）|＜M，∀x∈I.判定f（x）,g（x）均为一致连续的.

为此，F（x）在区间I内是连续函数，且它们是较为一致的.

所以，当

为此，f（x）在I是连续函数，且数值维持一致.

3.3一致连续函数的应用

例1设函数f（x）在［a.b］上连续，且为单调增加函数，a＜0＜b，证明：

证明令

因f（x）为递增的函数，为此，当b＞a时，有F（b）F（a）=0，

例2设f（x），g（x）在［a,b］上连续，且满足

证通过题目设定的条件，我们可以知道，以下简要的分析：

由题设可知，G（x）≥0,x∈［a,b］,G（a）=G（b）=0,G'（x）=F（x），从而我们能够确定如下过程：

〔1〕杜家祥.函数在无穷区间上一致连续性的判定［J］.宿州教育学院学报，2011（1）：91-92.

〔2〕胡适耕，张显文.数学分析原理与方法［M］.北京：科学出版社，2008.

〔3〕杨传林.数学分析解题思想与方法［M］.浙江：浙江大学出版社，2008.

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1673-260X（2015）11-0001-02