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偶数与自然数一样多

2015-11-06曾洪根

数学大王·中高年级 2015年11期
关键词:伽利略奇数偶数

曾洪根

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伽利略

(Galileo Galilei,1564~1642),意大利数学家、物理学家、天文学家,科学革命的先驱。伽利略发明了摆针和温度计,在科学上为人类做出了巨大贡献,是近代实验科学的奠基人之一。

偶数与自然数,哪一种数多?这时,恐怕同学们都会说:“当然是自然数比偶数多了。”可能还会有同学说:“偶数个数等于自然数个数的一半!”什么道理呢?因为奇数与偶数合起来就是自然数,而奇数与偶数是相间排列的,所以奇数与偶数一样多,其个数都是自然数的一半。

自然数包括偶数,偶数是自然数的一部分,自然数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗?听起来好像确实是这么一回事,可事实是不是这样的呢?

16世纪,意大利著名科学家伽利略给出了正确的答案。他曾提出过一个著名的悖论,叫作“伽利略悖论”,内容就是偶数和自然数一样多。这似乎违背常识,因为在1~10中,你只要数一下,就可以知道自然数有10个,偶数有5个,两者相比较,很清楚,自然数比偶数多5个。但这是在有限的情况下,毕竟自然数和偶数可远不止那几个,所以在比较两者数量的时候这往往是不正确的,为此伽利略提出了无限的问题。对于无限的数量,数的办法是不行了,因为无限多是永远数不完的。

那有什么方法可以用来比较它们的数量呢?其实,我们可以用“一对一”的方法来进行比较。一一对应是比较物体的集合是否相等的最简便、最直接的方式。比如教室里有48个座位,老师走进教室,一看座位坐满了,他不必张三李四一个一个地点名,便知道此时听课的学生人数为48。这是因为每个人都占了一个座位,而每个座位上都坐着一个人,两者建立了一一对应的关系。如果这时空了一些座位,老师就知道听课的学生人数少于48,因为部分小于整体。

这种方法同样可以用在无限上,关键看要比较的两者之间能否建立起这种一一对应的关系。如果能建立,我们就可以认为两者的数量相等。伽利略在自然数与偶数之间建立了如下的对应关系。

自然数:0 1 2 3 4 5 6 …… n

↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓

偶 数:0 2 4 6 8 10 12 ……2n

给出一个自然数,我们可以找出一个偶数与之对应,给出的自然数不同,与之相对应的偶数也不同;反过来,对于每一个偶数,我们都可以找到一个自然数与其对应,偶数不同,所对应的自然数也不同;由此我们称自然数与偶数之间建立了一一对应的关系,所以自然数与偶数一样多。其实不仅偶数与自然数一样多,所有3的倍数、4的倍数也与自然数一样多。

在无限中,“部分”可以等于“整体”。如果一个量等于它的一部分量,那么这个量必是无限量;反之,无限量必然可以等于它的某一部分量。

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