黄杰　沈勇　王坤　章志亮

（南京大学声学研究所　近代声学教育部重点实验室　南京　210093）

⋄研究报告⋄

封闭式扬声器系统空气劲度的非线性研究∗

黄杰沈勇†王坤章志亮

（南京大学声学研究所近代声学教育部重点实验室南京210093）

当封闭式扬声器系统工作于大信号状态时，箱体内空气劲度将产生非线性效应，进而影响系统的性能。为研究此非线性效应，从理想气体多变过程的状态方程出发，推导了封闭式扬声器系统的非线性空气劲度的理论公式。研究发现，封闭式扬声器系统的非线性空气劲度与扬声器单元振膜的振动位移、有效辐射面积、箱体的有效容积和多变系数等主要因素有关。通过实验，分别测量了封闭式扬声器系统与扬声器单元的非线性劲度，二者相减获得封闭式扬声器系统的非线性空气劲度。实测数据与理论计算得到很好的吻合。

空气劲度，非线性，多变过程

1　引言

近年来，人们对音质的要求越来越高，扬声器系统的非线性问题日益受到关注。不少文献对此问题进行了阐述，Hwang等［1-2］对扬声器磁路部分的非线性因素进行分析并给出优化方法，Pawar等［3-4］通过有限元法计算了扬声器振动系统中存在的非线性劲度，并对其进行了测量与分析。Klippel［5-8］在扬声器非线性方面做了大量的工作，包括从扬声器的非线性建模到非线性参数的测量，从谐波失真、互调失真的计算到异常声的检测等各个方面。然而，这些研究大多集中于扬声器单元方面，对于扬声器系统的非线性少有提及。

图1给出封闭式扬声器系统的剖面示意图，系统的劲度主要由扬声器单元的折环、定位支片和封闭箱中的空气决定。系统内部空气通常被等效为一个弹簧，为封闭式扬声器系统提供恒定的劲度［9］。然而，当封闭式扬声器系统工作于大信号状态时，封闭箱内的空气劲度随着振动位移的变化而产生非线性效应。特别是对于空气悬浮式设计而言，由于系统的有效容积较小，这种非线性效应表现的尤为明显。因而，研究封闭箱内的空气劲度的非线性对改善封闭式扬声器系统的性能、进行更为合理的系统设计具有重要的意义。然而，目前这种非线性效应没有得到广泛的关注。Kaizer［10］首先发现了这个效应并从理想气体绝热压缩的泊松方程出发对其进行分析。然而，他将封闭箱内的空气压缩等效为绝热过程而没有考虑到扬声器单元的热效应、箱体表面的粘滞效应等因素对系统的影响。此外，其忽略了有效辐射面积随振膜振动位移变化的情况而将其等效为定值，也给计算结果带来了误差。

图1　封闭式扬声器系统Fig.1 Closed-box loudspeaker system

本文从理想气体多变过程的状态方程出发，推导了封闭式扬声器系统的非线性空气劲度的理论公式。由理论公式发现，封闭式扬声器系统的非线性空气劲度与振膜振动位移、有效辐射面积、箱体有效容积和多变系数等主要因素有关。通过有限元法仿真计算随振膜振动位移变化的有效辐射面积，在实测的基础上，利用位移为零时的劲度系数计算系统的多变系数并将二者代入公式对封闭式扬声器系统的非线性空气劲度进行理论计算。分别测量了封闭式扬声器系统与扬声器单元的非线性劲度，二者相减获得封闭式扬声器系统的非线性空气劲度。实测数据与理论计算得到很好的吻合。

2　理论分析

Kaizer［10］假设封闭箱中空气压缩为绝热过程并认为有效辐射面积恒定，推导封闭式扬声器系统的非线性空气劲度kbox为

式（1）中γ=1.4为绝热系数，Sd为扬声器单元的有效辐射面积，P0为箱体内空气静态压强，V0为箱体有效容积，x为振膜振动位移，在本文中，规定振膜向外振动时，位移x为正；振膜向内振动时，位移x为负。

然而，当考虑到扬声器单元的热效应、箱体表面的粘滞效应等因素时，箱体内的空气压缩不能等效为绝热过程，此外，扬声器单元的有效辐射面积也应随振膜振动位移的变化而变化。为此，本文从理想气体多变过程的状态方程出发，推导封闭式扬声器系统的非线性空气劲度的理论公式。

理想气体多变过程的状态方程为

式（2）中n为多变系数，它可以是-∞到+∞之间的任意数值。当扬声器单元振动时，封闭箱中总压强为（P0+p），空气总体积为（V0+V），则此时状态方程可表示为

式（3）中p为箱体中压强变化，V为体积变化。对于有效辐射面积为Sd（x）的扬声器单元而言，V=Sd（x）x，则式（3）可改写为

即

在振动过程中，振膜振动位移较小，故有Sd（x）x≪V0。根据泰勒级数展开并保留三阶项，可得

因此箱体中压强变化p为

封闭箱的空气劲度可以表示为

联立式（7）、式（8），可得

由式（9）可以看出，封闭式扬声器箱体的空气劲度与多变系数n、箱体空气静态压强P0、箱体有效容积V0、有效辐射面积Sd和振膜振动位移x有关。

3　计算与测量

为验证理论公式的正确性，选取一个实际的封闭式扬声器系统进行计算与测量，箱体的有效容积为V0=4.71 dm3。在计算与测量过程中，箱体内空气静态压强取一个标准大气压，即P0=101325 Pa。

3.1有效辐射面积

有效辐射面积Sd是描述扬声器单元结构场与声场耦合情况的重要参数。如图2所示，有效辐射面积Sd可以定义为在运动相同位移时，具有与扬声器单元振膜相同体积位移的刚性活塞的面积。在低频小信号状态下，有效辐射面积为定值［11］。然而在大信号状态下，由于扬声器单元振动位移较大，有效辐射面积将随振膜振动位移的变化而变化，有效辐射面积Sd可以用式（10）描述

图2　有效辐射面积Fig.2 Effective radiation area

为获得扬声器单元随振膜振动位移变化的有效辐射面积，对扬声器单元进行有限元仿真。采用静力分析的方法，分别在音圈上施加不同方向、不同大小的力，求取振膜的振动位移并代入上式进行积分，即可获得有效辐射面积随振膜振动位移变化的情况。实验采用的扬声器单元的有效辐射面积随振膜振动位移的变化情况如图3所示。

图3　有效辐射面积计算曲线Fig.3 Calculated curve of the effective radiation area

图3中拟合曲线可以表示为如下形式

3.2多变系数

封闭式扬声器系统在大信号状态下工作时，扬声器单元将在箱体内产生热量并且箱体表面存在粘滞效应，因而封闭箱内空气的压缩不能等效为绝热过程，而应是多变过程。多变系数n描述系统内压强与体积的关系，它可以是-∞到+∞之间的任意数值。通常对于空气而言，当n=1时，系统为等温过程；当n=0时，系统为等压过程；当n=1.4时，系统为绝热过程。

表1　多变系数的测量值Table 1 Measured values of the polytropic exponent

由表1可以看出，不同扬声器单元组成的封闭式扬声器系统的多变系数不同，同一封闭式扬声器系统的多次测量结果也略有不同，但整体来看，具有如下规律：封闭式扬声器系统的多变系数低于绝热压缩过程的多变系数，高于等温过程的多变系数，即此时多变系数具有如下规律：1＜n＜1.4。

3.3空气劲度理论计算与实测的对比

封闭式扬声器系统的总劲度系数由扬声器单元的劲度与封闭箱的空气劲度相加而得，因而欲得到封闭箱内的空气劲度，需实际测量封闭式扬声器系统的总劲度系数与扬声器单元的劲度系数，通过将二者相减，即可获得封闭式扬声器系统的空气劲度系数。参照国际标准IEC-62458［12］，采用Klippel分析仪分别测量封闭式扬声器系统的总劲度系数与扬声器单元的劲度系数，则封闭箱的空气劲度为此二者之差，测量结果如图4所示。

图4　实测劲度系数曲线Fig.4 Measured curves of stiffness

由图4可以看出，封闭式扬声器系统的空气劲度不是恒定值，而是位移x的非线性函数，当振膜向外振动时，空气劲度减小，当振膜向内振动时，空气劲度增大。

(3)成都平原城市群各经济类型数目呈波动性变化，经济发达型分布在以成都市为核心的县域，经济较发达型分布在成都市区的外围，大部分区域属于经济中等型和经济滞后型，主要分布在研究区边缘地带，但研究区整体经济空间发展格局逐步趋于稳定，呈“凸”字型空间分异格局.从经济实力结构看，从2000年的“金字塔型”逐步转变为“橄榄型”结构.

将V0=4.71 dm3，有效辐射面积Sd（x），静态空气压强P0=101325 Pa代入式（9），并取多变系数n=1.24，可得空气劲度的理论计算曲线，计算结果与实测曲线的对比如图5所示。取Sd=Sd（0）=215.9 mm2代入式（1），可得Kaizer所推导公式的理论计算结果，其与实测曲线的对比如图6所示。

图5　封闭箱空气劲度的理论计算与实测对比Fig.5 Comparison of the calculated and measured air stiffness of the closed box

图6　封闭箱空气劲度的Kaizer公式计算与实测对比Fig.6　Comparison　ofthecalculated　by Kaizer's formula and measured air stiffness of the closed box

由图5～6可以看出，根据Kaizer在绝热过程的基础上推导的理论公式（1）计算得到的空气劲度大于实测结果，二者存在较大差异；根据多变过程推导的理论公式（9）的计算结果与实测结果吻合的很好，式（9）能够较为准确地计算封闭式扬声器系统的空气劲度。

4　结论

本文从理想气体多变过程的状态方程出发，推导了封闭式扬声器系统的非线性空气劲度的理论公式。对封闭式扬声器系统与扬声器单元的劲度分别进行了测量，将测量结果与理论计算进行对比，二者得到很好的吻合。通过研究，主要得出如下结论：

（1）在大信号状态下，封闭式扬声器系统的空气劲度不是恒定值，而是振膜振动位移的非线性函数。当振膜向外振动时，空气劲度减小；当振膜向内振动时，空气劲度增大；

（2）封闭式扬声器系统的非线性空气劲度与扬声器单元振膜的振动位移、有效辐射面积、封闭箱箱体的有效容积和多变系数等主要因素有关；

（3）封闭式扬声器系统中箱体内的空气压缩不是绝热过程，而是多变过程。压缩过程的多变系数低于绝热过程的绝热系数。

进一步的研究方向为根据封闭箱内空气劲度的非线性特性，研究如何使扬声器单元与之配合。

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Analysis of nonlinear air stiffness of closed-box loudspeaker system

HUANG JieSHEN YongWANG KunZHANG Zhiliang
（Key Laboratory of Modern Acoustics，MOE，and Institute of Acoustics，Nanjing University，Nanjing 210093，China）

The air stiffness of closed-box loudspeaker system will become nonlinear in the large signal domain and the nonlinearity will influence the performance of the system.In order to analysis this nonlinearity，theoretical formula of the nonlinear air stiffness of closed-box loudspeaker system was derived based on the state equation of polytropic process of an ideal gas.It was found that the air stiffness of closed-box loudspeaker system was related to the displacement of the voice coil，the effective radiation area of the driver，the effective volume of the box and the polytropic exponent of the system.The nonlinear stiffness of the closed-box system and the driver were measured separately and the air stiffness was obtained accordingly.The measured air stiffness agreed well with the theoretical calculation.

Air stiffness，Nonlinearity，Polytropic process

O42

A

1000-310X（2015）06-0471-06

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.06.001

2015-05-05收稿;2015-06-24定稿

∗有限长近似线声源声学特性研究（11274172）

黄杰（1991-），男，江苏宿迁人，硕士研究生，研究方向：声学。

E-mail：yshen@nju.edu.cn