王博蓉　文丹

摘 要：纵观近几年高考试卷，不难发现，概率与其他知识点交汇是概率题考查的一大趋势。本文将以2015年高考试题中的选题，探究概率以平面几何、立体几何、线性规划、复数四个方面为载体的综合应用，采用数形结合单的思想方法，旨在培养学生重视学科内在联系和综合性，构建立体的知识网络，促进学科内在知识的迁移。

关键词：概率；几何概型；线形规划；复数；数形结合

中图分类号：G632 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）12-0043-01

一、概率与平面几何的交汇

例1：（2015年湖北卷理数）如图1，在圆心角为扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）。

A.1-2π B.12-1π C.2π D.1π

解题思路：不妨设扇形OAB半径为2。如图1，记两块白色区域的面积为S1，S2；两块阴影部分面积为S3，S4；则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π·22=π①

而S1+S3=S2+S3的和恰好为一个半径为2的圆的面积，即S1+S3+S2+S3=π②

①-②得S3=S4。由图可知S3=S扇形EOD+S扇形COD-S正方形OEDF=12π-1

所以S阴影=πa2-2a2。由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率

p=S阴影S扇形OAB=2（12π-1）π=1-2π。

二、概率与立体几何的交汇

例2：（2015年湖南卷理数）四面体的一个顶点A和各个棱的中点共10个点

（1）从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同取法有多少种？

（2）从中任取4个点，则这4个点恰好不共面的概率是多少？

解题思路：（1）（直接法）如图2，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C35中取法，例如从D、B、H、O、J中任取3个点必共面。含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法，例如A、B、D、J必共面。根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C35+3=33种。

（2）（间接法）如图2，从10个顶点中取4个点的取法有C410中，减去4点共面的取法种数可以得到4个点恰好不共面的种数。从四面体同一个面上的6个点中取出4点必定共面，有4C46=60种，例如在平面ABO中，从A、B、O、D、I、H中任取4个点必共面。四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，例如A、D、B、J必共面。从六条棱的中点中取4个点有3种共面情况（对棱中点连线的两两相交且互相平分），例如D、J、H、E必共面。故4点不共面的取法有C310-（60+6+3）=141种。所以这4个点恰好不共面的概率是p=141C410=4770。

三、概率与线性规划的交汇

例3：（2015湖北卷理数）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≥12”的概率，p2为事件“x-y≤12”的概率，p3为事件“xy≤12”的概率，则（ ）。

A.p1

C.p3

解题思路：在直角坐标系中，依次作出不等式组0≤x≤10≤y≤1，与x+y≥12，x-y≤12，xy≤12的可行域，如图3，可知p1=S多边形BACDES四边形OCDE， p2=S多边形BOAFDES四边形OCDE，

p3=S曲边多变形GEOCFS四边形OCDE，

因为S△ABO=S△BEG=S△DGF=S△ACF，所以p2

四、概率与复数的交汇

例4：（2015年陕西卷理数）设复数z=（x-1）+yi（x，y∈R），若z≤1，则y≥x的概率为（ ）。

A.34+12π B.12+1π

C.12-1π D.14-12π

解题思路：据题意z≤1（x-1）2+y2≤1，对应平面区域如图4所示，是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，作出不等式组（x-1）2 + y2≤1y≥x，所对应的面积如图4中阴影部分面积所示，以面积作为几何度量可得p（A）=π×124-12×12π×12=14-12π，故选D。

总之，在高考数学试卷中越来越重视在知识网络交汇处设问，这不仅考查各知识点本身内容，而且加强知识之间的联系，体现知识的整体性和关联性。可以说，今年高考概率题与线性规划、复数的交汇，是一种创新，它进一步拓展了概率与其它知识的联系，优化概率知识框架，有利于学生创新意识的培养，是素质教育落实到教学的良好体现。

（作者单位：西华师大）