俞慈君,杨宝旒,金涨军,李江雄,柯映林,李明飞,方 强

（1.浙江大学机械工程学系,浙江杭州310027；2.中航工业陕西飞机工业（集团）有限公司,陕西汉中723313）

基于三维热变形原理的转站误差补偿方法

俞慈君1,杨宝旒1,金涨军1,李江雄1,柯映林1,李明飞2,方 强1

（1.浙江大学机械工程学系,浙江杭州310027；2.中航工业陕西飞机工业（集团）有限公司,陕西汉中723313）

为了提高飞机装配大尺寸测量精度,提出针对公共观测（ERS）点热变形引起的转站误差的补偿方法.该方法基于物体的热变形理论建立工装各向异性的三维热变形模型,对ERS点的实际位置进行修正,构建修正后的ERS点位置和理论位置之间的最小加权距离误差函数作为优化模型.转站过程中采用3σ准则对参与转站的ERS点进行筛选,剔除超差的异常点.采用单纯形法求解该优化模型,获得满足3σ准则的转站点组和最优转站参数.工程算例表明,采用该方法可以有效地剔除异常点并减少转站误差,提高了装配系统的测量精度.

激光跟踪仪；转站误差；三维热变形；3σ准则；单纯形法

在现代航空工业中,激光跟踪仪具有精度高、测量范围大、操作简单、便于移动等优点,在航空制造和装配过程中得到了广泛的应用［1-2］.在装配测量的过程中,待测点可能超出激光跟踪仪的测量范围,须移动跟踪仪从不同位置和角度去测量待测点坐标.通过“转站”的方式建立不同位置下的跟踪仪测量坐标系和飞机装配坐标系的关系.“转站”是用一组空间固定分布的公共观测点（enhanced reference system,ERS）在2个坐标系下的坐标值进行匹配,获得测量坐标系在装配坐标系下的位姿关系.转站误差越小,则转站越精确.

布置在工装设备或地面上的ERS点易受温度、震动、湿度等环境因素的影响,使位置发生偏移,造成转站误差.其中温度变化引起的ERS点位置偏移（热变形）尤为显著,极大地降低了跟踪仪的转站精度.目前主要采用2种方法减少温度变化引起的工装热变形［3］.1）采用车间内的恒温技术.该方法在大部件装配中成本高昂且技术难度大,以20 m的装配空间为例,即使控制温度波动在5℃范围内,取铸铁线膨胀系数为10－6／℃,变形量仍达1 mm.2）根据温度变化引起的物体热胀冷缩具有的规律性,建立热变形误差模型,采用误差补偿技术来减小热变形误差的影响.该方法只需要相应精度的温度测量系统和热变形误差模型,因此更加经济实用.

提高转站匹配算法精度通过以下两方面着手解决：1）研究不同的匹配算法：Wang等［4］针对每一个参与匹配的测量点的测量精度不同的问题,提出基于动态加权的匹配方法的求解方法,一定程度上减少了激光跟踪仪测量误差引起的转站误差.俞慈君等［5］提出带工程约束的点匹配方法,在实际工程约束下获得最佳的匹配精度,该算法对误差作了符合约束要求的分配,但不能减小误差.2）研究匹配点的热变形和补偿方法：Horn等［6］提出一种基于测量点组相似性加入了比例系数s的匹配补偿方法,该方法在小范围内的固定检测点发生规律性偏移的图像匹配领域得到较好应用.Horn法也可以部分补偿由于热变形引起的转站误差,但实际每个点的热变形是各向异性的,该方法过于理想化.ERS点热变形造成的激光跟踪仪转站误差问题,目前尚没有文献对此进行专门研究.

本文首先介绍激光跟踪仪转站的基本原理,针对ERS点热变形引起的转站误差,提出基于三维热变形原理的转站误差补偿方法.该方法采用各向异性的三维热变形模型对ERS点的位置进行修正,然后以修正后的ERS点位置和理论位置之间的最小加权距离误差函数作为优化目标函数.将ERS点热变形视作测量的系统误差,同时考虑到ERS点可能由于撞击、振动、联结松动等原因造成粗大误差,引入3σ准则对参与转站的ERS点进行筛选,剔除超差的异常点.采用单纯形法求解该非线性最优化模型,获得满足3σ准则的转站点组和最优转站参数.工程算例表明,采用本文方法有效地剔除异常点并减少转站误差,提高了装配系统的测量精度.

1 激光跟踪仪转站

1.1 转站原理

激光跟踪仪“转站”是为了获得测量坐标系OB在装配坐标系OA下的位置和姿态参数,然后设置参数使测量坐标系和装配坐标系重合,如图1所示.转站参数用（α,β,γ,tx,ty,tz）来表示.其中（tx,ty,tz）表示激光跟踪仪测量坐标系相对于装配坐标系的平移量；（α,β,γ）为ZYX欧拉角［7］,表示激光跟踪仪测量坐标系相对于装配坐标系的旋转变换序列.

令T＝［tx,ty,tz］T,

式中：sθ＝sinθ,cθ＝cosθ,T为平移矩阵,R为旋转矩阵.

装配坐标系下的实测坐标p′Ai和转站点误差ei为

采用奇异值分解法（singular value decomposition,SVD）求解式（1）.该方法对误差不作任何补偿,本文只简单介绍和应用其解法,在文献［8］中有严格证明.

对于第i个ERS点,装配坐标系下的理论坐标和测量坐标系下的实测坐标分别为pAi和pBi,对于所有n个测量点,转站计算的最小二乘表达式如下：

图1 激光跟踪仪转站示意图Fig.1 Coordinate transformation in station movement of laser tracker

式（4）简化为

求解Σ2的最小值是求解下式的最大值：

对矩阵H进行SVD分解,使得

式中：D为一个对角阵,U和V为正交单位矩阵.

旋转矩阵R为

平移矩阵T为

1.2 带比例系数的Horn法转站原理

为了减少匹配误差,Horn等［6］在研究图像处理过程中的点匹配问题时,加入了表示2个点组之间的相似程度的比例系数s.

转站计算的最小二乘表达式（1）转变成如下形式：

同理,式（6）转化为

将式（12）改写为几何对称式（13）的形式,两者是等价的,在文献［7］中有详细的证明.

展开式（13）可得

令

可得

1.3 现有方法的不足

Horn提出的基于测量点组相似性的匹配补偿方法,在小范围内的固定检测点图像匹配领域取得了较好的效果.对于航空装配现场的三维大尺寸测量的跟踪仪转站来说,Horn的方法存在如下不足.

1）ERS点一般固定在大型工装、型架上.由于材料、形状结构、尺寸和组装方法的不同,工装、型架在主要尺寸（长宽高）方向上会表现出各向异性的热膨胀特性［9］.因此,Horn法中使用比例系数s,即假定各向同性变形是不合理的.

2）Horn补偿模型只对平移参数进行了修正,认为ERS点的偏移（相对于中心点的缩放）是完全理想化的,不会改变转站的旋转参数.事实上,由于ERS点的偏移是非对称的,旋转参数会发生细微的变化.

3）SVD法和Horn法都没有将温度变化引起的热变形看作系统误差,也没有对ERS点的异常变形情况进行分析.

针对以上不足,本文提出一种对转站热变形误差进行补偿的解决方法.

2 热变形模型

温度变化容易引起零件或部件几何形体的变化,使得实际参数和几何形体偏离设计的理想状态,这种由温度变化引起实际参数与理想参数之差为热变形误差.传统物体热变形公式是线性公式,它包含几何尺寸、材料热膨胀系数和实际温度3个参数,即物体几何尺寸的热变形误差是由上述3个参数确定的线性函数,传统热变形计算公式存在近似性.实际上零部件的各个尺寸具有相关性,任一尺寸的热变形误差是其他相关尺寸的函数.由于尺寸间的相互制约,热变形后的零部件尺寸可能增加,也可能缩小,还可能保持不变［9］.

由于每次转站的过程时间很短（＜10 min）,可以假设在该过程中环境温度一定,且所有的ERS点与现场环境之间处于热平衡状态,即ERS点处于空间分布均匀的稳态温度场中.若ERS点在标定时的温度为T0,进行转站测量时的温度为T,这两者之间可能经过了几天甚至几个月,则由温度差ΔT＝T－T0引起的热变形是导致转站误差的主要原因.

假设部件上某一尺寸在温度T下的尺寸为Xi,在标准温度T0下为Xi0,两者的比值为si,则有

式中：si为热变形比例系数,si不仅和材料热膨胀系数α及温度T有关,同时和部件所有尺寸综合影响Xi变形的边界条件函数Ω有关.

某ERS点在标准温度T0下的坐标为p0＝［px0,py0,pz0］T,在温度T下的坐标为p＝［px,py, pz］T,代入式（16）可得

整理可得

式中：pc为部件变形的参考点,在pc点处物体尺寸的变形量为零；sx、sy和sz分别为三维方向上的热变形比例系数.将式（20）写成如下矩阵形式：

式中：S为热变形比例系数对角矩阵,可以简写为S＝diag（sx,sy,sz）,tc为参考中心偏置矩阵,

3 转站的热变形误差补偿

飞机装配工装的结构一般具有对称性,ERS点一般对称布置于材料相同、结构近似的工装上.显然,单个ERS点在X、Y和Z方向的热变形具有各向异性.考虑到全部参与转站的ERS点所形成的空间整体,不同的ERS点在X、Y和Z单个方向的热变形具有近似一致性,膨胀或者收缩.下文的热变形系数sx、sy和sz表示全部ERS点在各方向上的一个平均热变形系数.

3.1 热变形误差补偿算法

根据式（21）,将式（2）修正为

式中：

此时,转站计算的最小二乘表达式如下：

根据式（11）、（12）、（24）转化为

式中：

于是,式（26）简化为

由式（26）可知,当S＝diag（s,s,s）,pc＝［0,0,0］T时,与式（14）等价,即Horn法是本文方法的一个特例.

3.2 参考中心的选取

由式（23）可知,新平移矩阵T′是热变形比例系数矩阵S、参考中心偏置矩阵tc以及平移矩阵T的函数.由式（26）可知,当ΔT＝0时,有T′＝μA－SRμB,则T′的解仅依赖于μA、μB、S和R,与参考中心pc的选择无关.当S和R确定后,T′具有唯一解.选取参考中心的位置为原点,即pc＝［0, 0,0］T,则有tc＝0.

式（24）简化为

3.3 补偿算法求解

式（28）是一个典型的无约束非线性优化问题：形如f（v）＝minΣ2,须优化的未知参数为v＝（α, β,γ,tx,ty,tz,sx,sy,sz）,即转站参数和热变形比例系数.由于未知参数较多,本文采用单纯形法（Nelder-Mead算法）［10］求解该优化问题.该方法属于直接搜索法,无需计算函数的梯度,求解简单,易得全局最优解.应用单纯形法需要先确定初值v0,本文的转站参数初值使用SVD法计算得到,取比例系数初值为（1,1,1）.得到初值v0后,可以根据单纯形法对热变形误差补偿模型进行求解.数值分析软件MATLAB中的工具箱提供了解决最优化问题的现成函数,其中fminsearch函数［11］的计算原理是Nelder-Mead算法,本文对式（28）直接调用该函数进行求解.函数的输入为式（28）的函数表达式和v0,输出为最优化目标参数v*.

4 异常点剔除的3σ准则

装配现场ERS点的一般布置比较稳定,相对于原来位置的偏移较小,但会由于一些原因出现一些偏移较大的异常点：1）联结松动、物体撞击、人为移动等造成被测点漂移；2）不规范的设备操作或设备异常造成被测点测量值失真.这些异常点属于坏点,若参与转站计算则会增大转站误差,并且影响转站参数的准确性,故须在转站计算时予以判断和剔除.

本文中异常点的剔除方法采用拉伊达（Pau Ta）准则,简称3σ准则［12］.将超过3σ的数据点进行剔除,该方法犯“弃真”错误的概率仅为0.27%.

若

则将第i个ERS点剔除.

式中：

在实际应用中,应尽量使n≥10,否则不能应用该准则.

为了实现智能剔除,对每个ERS点添加权重系数ωi,初值为1.应用3σ准则,当第i个ERS点被判定为异常点时,取ωi＝0实现剔除.

式（28）转变为

对于应用3σ准则检查多个可疑数据时,可疑数据应逐一检查,不能同时检查多个数据.这是因为不同数据的可疑程度是不一致的,应按照与偏差的大小顺序来检验.首先检验偏差最大的数,若这个数不被剔除,则所有的其他数都不应被剔除.

具体步骤如下.

1）先令所有权重系数的初值ωi＝1,即所有ERS点参与转站计算,由式（30）获得一组转站参数后,通过式（29）计算xi、和σ.

2）若xi＞3σ,则wi＝0,n＝n－1转步骤3）；若xi≤3σ,则结束判断转步骤4）.

3）重新计算式（30）,获得新的一组转站参数,并通过式（29）计算xi、和σ,转步骤2）.

4）输出剔除异常点后的最优转站参数v*.

如图2所示为异常点判断剔除的流程图.

图2 异常点剔除流程图Fig.2 Process of outliers rejection

5 实验和数据分析

5.1 实验内容

为了验证本文方法的有效性,以某型飞机部装现场的转站数据为样本,采用提到的3种方法分别进行转站计算,比较异常点是否剔除对转站误差的影响.

图3 ERS点布置示意图Fig.3 Layout of ERS points

如图3所示为某飞机装配车间现场共20个ERS点空间布置示意图.现场所用跟踪仪型号为Leica AT901绝对激光跟踪仪,设备的标定精度为±15μm＋6μm／m,实际测量误差比标定的误差更小.一般ERS测量误差不会超过0.05 mm,而转站误差一般约为0.5 mm,故测量误差属于微小误差,予以忽略.

如表1所示为在12℃下,标定ERS点的理论坐标和在20℃下,ERS点在测量坐标系下的实测坐标.

表1 ERS点的理论值和实测值Tab.1 Nominal and measured coordinates of ERS points

5.2 数据分析和结论

在本次实验中,转站精度采用转站平均误差和转站最大误差来表示,计算公式如下.

最大误差为emax＝max｛ei｜i＝1,2,…,n｝.

应用本文的3种方法,不剔除异常点,得到图4（a）所示的转站误差分布；剔除异常点,得到图4（b）所示的转站误差分布.如表2所示为2种情况下的转站平均误差和转站最大误差.

当剔除异常点后,所有ERS点在XYZ向应用3种方法获得的转站误差对比如图5所示,对应的在XYZ向的转站平均误差和转站最大误差如表3所示.通过计算可得Horn法比例系数为：s＝1.000 056；本文方法的热变形系数为：sx＝1.000 032,sy＝1.000 069,sz＝0.999 942.

表2 异常点对转站平均误差和转站最大误差影响Tab.2 Ef f ec t s o f mean er r or and maximum er r or due to ou t l ier s mm

表3 X、Y和Z向的转站平均误差和最大误差Tab.3 Mean error and maximum error in X,Y,and Z directions

对数据进行分析可得如下结论.

1）由图4（a）可知,当不剔除异常点时,ERS点L5和R5处的误差呈现明显异常尖点.图4（b）表明,当应用3σ准则时,有效剔除L5和R5,使其不再参与转站计算,转站误差随之合理分布,误差波动减小.

2）表2的结果显示,相比于不剔除异常点,剔除异常点后,3种方法的转站平均误差分别减小了9.5%、29.7%、52.4%；转站最大误差分别减小了50.0%、65.4%、79.7%.本文方法的转站平均误差和最大误差相比不作补偿的SVD法减小了82.9%和71.2%,相比Horn法减小了48.1%和46.1%,直接证明了本文方法补偿ERS点热变形的有效性.

图4 异常点对转站误差的影响Fig.4 Effects of registration error due to outliers

3）图5（a）、（b）的结果显示,在X向和Y向中,采用本文方法显著降低了转站误差,并且误差更贴近零轴分布.图5（c）中,Z向表示竖直方向的热变形,由于本身的变形量相较X向和Y向很小,对转站误差的影响较小.另外,由于工装结构的原因,Z向变形的规律性较弱,优化效果很有限,还需进一步的研究.表3的结果表明,本文方法与SVD法和Horn法相比较,3个方向的转站平均误差和转站最大误差均有不同程度的降低.

4）采用本文方法得到的热变形比例系数表明,虽然温度升高,但由于工装结构的原因,在X和Y向发生膨胀变形,在Z向发生收缩变形.Horn的单一系数法具有局限性,实际上工装热变形受本身结构的影响,呈现各向异性.

6 结 语

本文基于物体的热变形理论,建立ERS点各向异性的三维热变形补偿模型,减小了热变形引起的系统误差影响.引入3σ准则对参与转站的ERS点进行筛选,消除粗大误差的影响.工程实例表明,采用本文方法有效地剔除了异常点并减小了转站误差,提高了装配系统的测量精度.

图5 3种方法的转站误差对比Fig.5 Comparison of three methods registration error

［1］韩清华,郑保,郭宏利,等.采用激光跟踪仪测量飞机外形［J］.航空计测技术,2004,24（1）：15- 17.

HAN Qing-hua,ZHENG Bao,GUO Hong-li,et al.Measurement of aircraft outline by using laser tracker equipment［J］.Aviation Metrology and Measurement Technology,2004,24（1）：15- 17.

［2］蔡闻峰,周惠群,何颖.激光跟踪仪在无人飞机总装中的应用［J］.工具技术,2006,40（8）：77- 80.

CAI Wen-feng,ZHOU Hui-qun,HE Ying.Study and application for UAV assemble by laser tracker［J］.Tool Engineering,2006,40（8）：77- 80.

［3］费业泰.机械温度变形理论及应用［M］.北京：国防工业出版社,2009.

［4］WANG Zheng-yan,JEPSON Allan.A new closed-form solution for absolute orientation［C］//Proceedings of CVPR’94.Seattle：IEEE,1994：129- 134.

［5］俞慈君,李江雄,余锋杰,等.带工程约束的点匹配算法［J］.机械工程学报,2010,46（5）：183- 190.

YU Ci-jun,LI Jiang-xiong,YU Feng-jie,et al.3D points registration algorithm with engineering constraints［J］.Journal of Mechanical Engineering,2010,46（5）：183- 190.

［6］HORN B K P,HILDEN H,NEGAHDARIPOUR S.Closed-form solution of absolute orientation using orthonormal matrices［J］.Journal of the Optical Society of America A,1988,5：1127- 1135.

［7］蔡自兴.机器人学［M］.北京：清华大学出版社,2000.

［8］ARUN K S,HUANG T S,BLOSTEIN S D.Leastsquares fitting of two 3-D point sets［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1987, 9（5）：698- 700.

［9］费业泰,罗哉.精密技术中热变形误差影响的基本问题［J］.纳米技术与精密工程,2003,46（5）：183- 190.

FEI Ye-tai,LUO Zai.Basic problems about thermal deformation error in precision technology［J］.Nanotechnology and Precision Engineering,2003,46（5）：183-190.

［10］姚恩瑜,何勇,陈仕平.数学规划与组合优化［M］.杭州：浙江大学出版社,2001.

［11］林雪松.MATLAB 7.0应用集锦［M］.北京：机械工业出版社,2006.

［12］王岩.试验设计与MATLAB数据分析［M］.北京：清华大学出版社,2012.

Compensation method for registration error of laser tracker based on three-dimensional anisotropic thermal-deformation theory

YU Ci-jun1,YANG Bao-liu1,JIN Zhang-jun1,LI Jiang-xiong1, KE Ying-lin1,LI Ming-fei2,FANG Qiang1
（1.Department of Mechanical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China；2.AVIC Shanxi Aircraft Industry Group Limited Company,Hangzhou 723313,China）

A compensation method was proposed to reduce the registration error rising from the movement of ERS points（points of enhanced reference system）due to the alteration of temperature in order to improve measurement accuracy in the aircraft assembly process.An anisotropic three-dimensional thermaldeformation model was constructed to correct the coordinates of the ERS points based on the thermal-deformation theory.Then an objective function for least-squares optimization,which is a weighted distance error between the corrected coordinates and the nominal coordinates,was constructed.The 3σcriterion was applied to filter the ERS points,and some outliers were rejected.The Nelder-Mead method was used to acquire the points by satisfying the 3σcriterion and the optimal registration parameters.The engineering example showed that outliers were effectively excluded,the registration error was reduced and the accuracy of the measurement assembly system was improved by using this new method.

laser tracker；registration error；three-dimensional thermal-deformation；3σcriterion；Nelder-Mead method

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.002

V 262

A

1008- 973X（2015）07- 1208- 07

2014- 06- 01. 浙江大学学报(工学版)网址：www.journals.zju.edu.cn／eng

国家自然科学基金资助项目（51275463）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（2015FZA4002）.

俞慈君（1981－）,男,助理研究员,从事飞机数字化装配测量技术的研究.ORCID：0000-0001-9380-9009.

E-mail：yuppy＠zju.edu.cn

方强,男,副教授.ORCID：0000-0003-3947-0416.E-mail：Fangqiang＠zju.edu.cn