微积分在大学数学学习和生活中的应用

2015-10-19王兴龙

河南科技 2015年21期

关键词：微积分黄瓜体积

王兴龙

（西京学院，陕西西安 710000）

微积分在大学数学学习和生活中的应用

王兴龙

（西京学院，陕西西安 710000）

数学作为一种工具，借助这种工具可以解决现实生活的各种问题。微积分作为数学的一个分支，可以解决工作生活中没有规律的一些问题。为了更好的应用微积分知识，本文通过阐述微积分知识，分析微积分在大学数学学习中的应用，以及微积分在生活中的应用，进而为其他领域应用微积分提供参考。

大学数学；微积分；应用

随着计算机的出现，微积分的应用范围进一步拓宽。伴随着函数概念的产生，以及科学技术的进步，微积分应运而生。在大学数学教学过程中，微积分发挥着承上启下的作用，可以说微积分是数学发展史上的一项伟大创造。

1 微积分

在人类发展史上，数学作为一项重要的工具，借助数学人们可以掌握其他自然学科知识，同时在日常工作生活中，借助数学人们可以非常便利地解决实际问题。在大学数学中，微积分作为一个数学分支，其研究对象主要集中在函数的微分、积分，以及一些其他的内容方面。可以说，微积分是大学数学中的基础性学科，通常情况下，主要包括导数、变化率理论等内容。微积分作为大学数学的重要内容，主要来源于实践。在日常工作生活中，借助微积分可以解决最大化、最优化等实际问题。在组织开展机械工作的过程中，借助微积分可以进行图形设计。在园艺施工方面，可以通过微积分对施工面积（可以是不规则图形）进行计算。在美术绘图方面，借助微积分可以进行绘图操作。另外，在企业经营管理方面，利用微积分建立数学模型对未来的经济形势进行预测分析。

综上所述，微积分作为一种最为便捷的工具，广泛应用于人们的日常生活中。在日常的工作生活中，如果没有出现大量的实际问题，或者说如果没有数学家深入的研究分析，那么就不会出现当前的微积分理论。在研究探索微积分理论的过程中，需要以实际情况为基点，对实际问题进行抽象化处理，将其转化成数学问题。可以说，研究微积分的过程，就是推动社会进步的过程，在这一过程中，需要不断提出新问题，同时推动数学向前发展，并且在一定程度上提出验证数学理论的标准体系。

2 微积分在大学数学学习中的应用

在大学数学学习过程中，经常会涉及研究函数方面的内容，在研究过程中，一般需要从量的角度对事物的运动变化进行研究分析，这种研究方法被称为数学分析。从广义上来说，数学分析主要包括微积分、函数论等学科内容。但是，为了便于研究分析，通常将数学分析等同于微积分，人为的混淆了数学分析与微积分之间的联系。对于微积分来说，其基本内容主要涉及微分学、积分学等方面，如例1、2、3所示。其中，微分学主要涉及极限理论、导数、微分等。而对于积分学来说，主要包括定积分和不定积分等内容。由于微积分具有较强的实践性，从某种意义上可以说，微积分是与应用相互联系的，比较有代表性的就是，利用微积分学、微分方程等，牛顿从万有引力定律导出开普勒行星运动三定律。此后，在微积分学的推动下，数学实现了快速的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学等学科的发展，并且，微积分在这些学科中的应用范围越来越广，尤其是计算机的出现，在一定程度上进一步推动了这些应用的发展。

在解决数学实际问题时，经常会面临恒力做功的问题，对于这些问题，我们可以利用物理学知识给予解决。但是，如果涉及到的力是变力，在这种情况下，我们就不能简单地用物理学知识解决了，这时需要借助微积分，通过对位移进行无限细分处理，处理后的结果就是可以将细分后的最小单位视为恒力，然后根据物理公式进行求解，最后对每个单位上的功进行无限求和，所得结果就是变力所做总功。在处理实际问题时，这种方式经常会用到。另外，在物体匀速直线运动中，需要分析位移、速度两者之间的关系，如果速度是恒定的，那么可以通过s=vt进行计算。但是，物体匀速运动在现实社会中是不存在的，对于这种问题如何确定位移、速度之间的关系呢？对此，可以用微积分进行解决，将物体的运动时间进行无限细分处理，当细分到一定程度时，在每个小单位的时间内速度几乎不发生变化，在这种情况下，可以将其视为匀速直线运动，然后根据公式进行求解，最后把所有的位移加进行汇总，汇总结果就是总的位移。

通过上述分析，在处理变化的实际问题时，一般需要对变化的量进行无限细分处理，然后在最小单位内视为不变，最后按照恒定问题进行解决。

解：分项积分法，将函数2y=x在点x=1展开，得

解：在求函数极限时，常常不能直接采用基本的函数极限公式求解，需要事先对函数进行变形，将其转化成基本的函数极限公式类型的函数，然后求解。

3 微积分在生活中的应用

在日常工作生活中，我们遇到的任何问题都可能成为数学的研究对象。实际上，生活的各个方面都隐含着微积分知识，只有通过不断地挖掘，我们才能真正看清现象的本质，同时将具体的事物用抽象的数学知识表现出来。当我们难以理解某个抽象的事物时，在这种情况下，可以将其还原到具体的事物中，按照具体一抽象一具体的方式不断深化，最终认清事物的本质。

3.1 排队等待问题（极限夹逼定理）

在大学数学教学活动，数列极限夹逼定理是一条重要的定律，按照要求，画出3条相互垂直的空间直线，分别代表3个相互垂直的平面，按照从左到右的顺序依次将其记为Yn、a、Zn，假设a是固定的，而Yn、Zn都是无限地接近a，此时，在Yn、Zn两个平面之间任意放入平面Xn，平面Xn都是向a无限逼近，这就是夹逼定理的相关内容。按照夹逼定理的要求，我们可以将日常生活中的实例进行对号入座，例如，排队买票问题，当许多人排成一列长队按顺序买票时，如果后面的人越来越多，那么队伍中间的人就要想还有多长时间才能轮到自己，这是被后面的人挤到购票窗口前，这就是夹逼定理中直观感受，其中Xn就是参与排队买票的人，而Yn、Zn就是后面排队的人，而购票窗口就是事先规定的a。

3.2 投资决策问题

在经济生活中，初等数学的应用范围也非常广泛，例如在解决投资决策问题时，如果以均匀流（将资金按照流水的方式定期地存入银行）的方式向银行存款，那么t年后，应该取出多少资金，这种问题可以通过定积分的方式给予解决。例如，一个企业向某项目一次性投入2千万元，并且一年后建成投产同时获得回报。如果不考虑资金的时间价值，那么收回投资本金的时间为5年，如果考虑资金的时间价值，那么实际情况就会发生改变。在这种情况下，借助微积分，可以确保投资决策的科学性、合理性，同时可以规避风险，提高投资收益率。

3.3 切菜问题（“微元法”计算立体的体积）

利用微积分解决实际问题时，例如，已知平行截面的面积，如何利用定积分计算空间立体的体积。假设空间存在某个立体面，并且该立体面由一个曲而和垂自于x轴的两个平面构成，从x轴上任选一点垂直截所围立体，并且所得截面面积就是已知连续函数，那么就可以通过定积分表示此立体体积。对于这种方式可以通过“微元法”得出结论。在日常生活中，这种方式应用范围比较广，可以视为切黄瓜，在水平的桌面上，放置洗净的黄瓜，用菜刀按照垂直于菜板的方向切掉黄瓜的两端，如何计算剩余黄瓜的体积？首先如何计算不规则黄瓜的体积？按照垂直于菜板的方向，以较小的间隔切一个黄瓜片，可以将这片黄瓜片视为一个圆柱体，其体积就是截面面积与黄瓜片厚度的乘积。以此类推，如果将这根黄瓜切成若干薄片，分别计算每片黄瓜的体积，然后相加就得出所求黄瓜体积的近似值。如何提高黄瓜体积数值的精度？就是将其进行无限细分处理，然后再进行无限求和，这样就可以提高计算值的精度。

另外，微积分作为大学数学的一个分支，其应用范围不仅局限于解决有关变化的实际问题，随着科学技术的发展，微积分在科学技术领域的应用范围也在不断拓宽，并且取得一定的成就。