王卓君，杨群丰，范　凯，沙鑫美

（1.三江学院，江苏南京210012；2.中国高速传动设备集团有限公司，江苏南京211100）

一种相机标定方法的探讨

王卓君1，杨群丰2，范凯1，沙鑫美1

（1.三江学院，江苏南京210012；2.中国高速传动设备集团有限公司，江苏南京211100）

利用多圆阵列平面标定板，以其阵列圆心作为世界坐标参考点，采用基于轮廓跟踪的区域标记算法提取图像上多圆区域的形心作为图像像素坐标系参考点，利用同一标定板不同位置拍摄的多幅图像，借助每幅图像的单应性矩阵线性标定出摄像机的内外参数并作为初值，建立非线性优化模型采用最小二乘法进一步优化参数与畸变系数。利用优化的参数对空间点进行投影得到投影平均误差小于0.05个像素。

摄像机标定；单应性矩阵；线性标定；最小二乘法

0　引言

摄像机标定是计算机视觉获取三维空间信息的前提和基础，是双目视觉研究的重要组成部分。它主要是确定摄像机内外参数的一个过程，即确定摄像机的内部几何与光学参数（内部参数）和确定摄像机坐标系相对某一世界坐标系的三维位置和方向关系（外部参数）［1］。精确标定摄像机内外参数不仅可以直接提高测量精度，而且为后续的立体图像匹配与三维重建奠定了良好的基础；同时，标定的快捷、方便可以更好地满足农业车辆视觉导航的需要。

相机标定方法有：传统相机标定法、主动视觉相机标定方法、相机自标定法，可归结为摄像机标定方法和摄像机自标定方法两类［2-4］。本研究采用的是前者。

1　摄像机成像模型

为了说明摄像机成像模型，先定义几种坐标系：世界坐标系、摄像机坐标系、图像平面坐标系、图像像素坐标系，理想的摄像机成像模型是针孔模型，各个坐标之间的关系如图1所示。空间点P从世界坐标系到图像像素坐标系，需要经过以下4步变换，其中涉及到的参数就是摄像机标定要解决的问题。

（1）从世界坐标系（Xw、Yw、Zw）到摄像机坐标系（Xc、Yc、Zc）的变换，该变换为坐标系的旋转加上平移构成。

（2）从摄像机坐标系（Xc、Yc、Zc）到图像平面坐标系（x，y），在不考虑镜头畸变的理想情况。

（3）在考虑镜头畸变的情况下，无失真坐标（x，y）到受镜头畸变而偏移的实际图像平面坐标（xd，yd）的变换。

（4）实际图像平面坐标系（xd，yd）到图像像素坐标系（u，v）的线性变换。

图1　各个坐标关系图

图2　标定面板图像

2　标定参数求解

对每一幅图像（共N幅）中的n个特征点，把Zc看作任意的标量，可以利用线形模型求出3× 3的单应性矩阵H，其中R1，R2为单位正交旋转矩阵R的第1列与第2列向量，这样N幅图像就可以求解出N个单应性矩阵。令］，所以就有对应的N个已知的单应性H矩阵。考虑到R1，R2的正交性，可以得到计算内参矩阵的2个基本约束：，令，由于内参矩阵A是上三角矩阵，可知B是对称阵，这样就可以得到关于B矩阵的2N个线性方程［5］，求解此线性方程既可得到B矩阵，继而可以得到内参矩阵A。进一步利用内参矩阵A可以求出每幅图像对应的外部参数：。上面求解过程利用了内参矩阵A恒定不变的条件，但是每幅图像对应的外部参数是变化的，这样可以得到N个外部参数。

考虑镜头畸变，对于径向畸变系数k1，k2，可以这样估计其初值：由于通过线性关系求出了相机的内外参数，通过（4）式可以把图像像素坐标上的特征点（u，v）转换为图像平面上的点（xd，yd），同时对空间已知点P（Xw、Yw、Zw）通过（2）式转换为理想无畸变图像平面上的点（x，y），再通过（3）式可以建立关于k1，k2的线性方程，共可以建立2n N个方程［5］，求解此方程即可得到k1，k2的初值解。

参数的优化：可以利用上面求得的内外参数以及畸变系数作为初值，通过求解下式的最小值得到优化的参数：

其中pij为第i幅图像中的第j个特征点的坐标，为利用第i幅图像中的第j个空间点Pj联合对应的外部参数Ri，ti计算得到的图像坐标，这是一个非线性最小化问题，可以采用Levenberg Marquart非线性最小二乘法进行优化求解，它是最快梯度下降法和拟牛顿法的结合方法，速度较快。全厚德［6］等对此问题的算法作了推导。

3　标定结果与分析

标定采用平面式标定板，利用AutoCAD设计7×7个实心圆阵列组成，圆直径20 mm，圆中心间距为30 mm，用A3打印出来后平整地贴在一面板上，如图2，并以左下角第一个圆心作为世界坐标系的原点，Xw、Yw轴分别作为圆阵列的行与列方向。相机为BASLER A102fc，焦距10-25 mm可调，在不同位置采集同一标定板N（本例N=10）幅图像，图像大小为640×480×24 bits。标定程序利用VC++开发，利用基于轮廓跟踪的区域标记算法提取图像上多圆区域，并获取多圆平面图像的形心坐标，如图3，限于篇幅，其算法另文详述。整个标定过程全自动完成，用户只需要输入特征点空间坐标即可。

图3　自动获取形心坐标检测效果图

运用上述算法，摄像机内参标定结果为：

k1=-0.332 0，k2=-0.424 2，同时可以得到10组对应的外部参数矩阵。

表1　空间点投影均方差

4　结论

通过对摄像机的标定结果可以看出，采用线性的标定方法求取相机内部参数与外部参数，用此参数作为初值，代入非线性优化模型中，通过最小二乘法可以得到准确的内部参数与对应的外部参数，可以满足平面或者带有结构特征的空间物体的测量。在实时视觉检测场合，利用此标定方法，可以先标定相机内部参数，再利用特定的空间坐标点与投影坐标点获得相应的外部参数，实现摄像机的快速标定。

［1］马颂德，张正友.计算机视觉［M］.北京：科学出版社，1998.

［2］邱茂林，马颂德.计算机视觉中摄像机定标综述［J］.自动化学报，2000，26（1）：43-55.

［3］Emanuele Trucco，Alessandro Verri.Introductor tech⁃niques for 3-D computer vision［Z］.Prentice Hall，1998.

［4］Tsai R Y.A versatile camera calibration technique for high accuracy 3D machine vision metrology using off--the-shelf TV camera and lenses［J］.IEEE Journal of auto⁃mation，1987，3（4）：323-334。

［5］蔡健荣，赵杰文.双目立体视觉系统摄像机标定［J］.江苏大学学报：自然科学版，2006，27（1）：6-9.

［6］全厚德，闫守成，张洪才.最优化方法在摄像机标定中的应用［J］.火力与指挥控制，2006，31（7）：46-49.

One Method of Camera Calibration

WANG Zhuo-jun1，YANG Qun-feng2，FAN Kai1，SHA Xin-mei1
（1.San Jiang University，Nanjing210012，China；2.China High Speed Transmission Equipment Group Co.，Ltd.，Nanjing211100，China）

In order to get precise camera parameters，one planar template including multi-circles whose centers were regarded as the reference points was designed.Using region labeling arithmetic based on the contour tracking the corresponding shape centers in images were automatically extracted.Every 3D points in the template and their image points produced one Homography matrix，using the multi-images’Homography matrixes the camera intrinsic parameters and external parameters were estimated by solving the closed-form. Finally the estimates were fed to the optimizer as initial guess parameters to get the precise calibration parameters through least square method.The tests indicated that using the final calibration parameters the projection error was not more than 0.05 pixels.

camera calibration；Homography matrix；linear calibration；least square method

TP391

A文献标识码：1009-9492（2015）12-0099-03

10.3969/j.issn.1009-9492.2015.12.028

王卓君，女，1976年生，河北保定人，硕士，讲师。研究领域：计算机测控技术。已发表论文6篇。

（编辑：向飞）

2015-11-09