高瑞梅

（长春理工大学　理学院，长春　130022）

一类图构形的特征多项式

高瑞梅

（长春理工大学理学院，长春130022）

超平面构形是奇点理论的一个分支，它是一类具有非孤立奇点的超曲面。超平面构形是处在组合学、代数学、拓扑学、代数几何学等多个学科交汇处的一门年轻的学科，它的巨大魅力在于：能从组合学以及代数学等不同角度去描述它的拓扑不变量。特征多项式作为构形的一个组合不变量，在构形组合、代数、拓扑性质的研究中，起到非常重要的作用。本文利用图论中的顶点着色理论给出一类特殊图构形的特征多项式。

超平面构形；图构形；特征多项式

超平面构形是指有限维向量空间中有限个超平面所形成的集合。通常将超平面构形简称为构形。超平面构形是一门新兴的学科，最近三十年得到越来越多学者们的重视，并发现了它与其他学科之间的联系，涉及到的学科有：波前和超几何函数、辫子和相位的研究、反射群、编码理论、李代数等［1］。构形是一门内容丰富的学科，我们可以多角度对它进行研究，例如从组合学、代数学、代数组合学、拓扑学等角度［2-7］。目前，构形的研究焦点主要集中在解决构形自由性方面的Terao猜想上，日本北海道大学的Terao H、Yoshinaga M，京都大学的Abe T等学者在此方面做了大量基础性和创新性的工作［2，4，5］。

构形理论的发展之初，一个组合学问题呈现在大家面前，即如何计算实构形补空间的连通分支的个数，即构形房的个数。最终，Zaslavsky T通过引入特征多项式这一概念，彻底解决了上述问题。从此，构形的特征多项式被大家所熟知，并成为研究的热点。特征多项式是构形的一个重要的组合不变量，它是贯穿构形的组合、代数、拓扑性质的一条主线：构形的Orlik-Soloman代数的庞加莱多项式，以及复构形补空间的Betti数都与特征多项式有着密切的联系。由于特征多项式的研究具有重要的意义，学者们对于重构形、子空间构形的特征多项式也进行了研究［5，8］。本文将图论中的顶点着色原理应用到超平面构形上，以定理的形式给出一类特殊图构形的特征多项式。

1　构形的基本定义

设K是一个域，V是域K上的n维向量空间。称V中n-1维的仿射子空间为V中的一个超平面，记为H。将V中有限个超平面所组成的集合称为一个超平面构形，记为A。若A中超平面方程为

其中x=（x1，…，xn），且每个Li（x）都是齐次线性的，则称多项式

为A的定义多项式。如果构形A中每一个超平面都经过原点，则称A是一个中心构形，否则称A为非中心构形。设A是V中一个构形，用L（A）表示A中超平面的所有非空交集构成的集合。构形A的特征多项式χA（t）定义为：

其中μ（x）是元素x的默比乌斯函数值。

设 （A1，V1）和 （A2，V2）是两个构形，且V=V1⊕V2，定义乘积构形（A1×A2，V1×V2）如下：

A1×A2=｛H1⊕V2|H1∈A1｝⋃｛V1⊕H2|H2∈A2｝

如果在坐标变换之下，构形A可以写成A=A1×A2，则称构形A是可约的，否则称A是不可约的。设G=（V（G），E（G））是一个具有n个顶点的简单图，其中V（G）是G的顶点集，E（G）是G的边的集合。定义

称AG为G对应的图构形。

图1　当m=6，n=4时，G、G-e、G/e对应的图形

2　一类特殊图构形的特征多项式

本部分将利用图论中的顶点着色理论得到一类图构形的特征多项式。

设G是一个简单图，e=｛i，j｝∈E（G），G-e表示图G去掉边e后所得的图，G e表示把图G中的边e缩为一点，再将所得图中的重边用单边代替后所得的图。三个简单图G、G-e、G/e对应的着色多项式之间的关系如下：

引理2.1［9］χG（t）=χG-e（t）-χG e（t）。

引理2.2［9］对任何一个图G，我们有χAG（t）= χG（t），即简单图G的着色多项式和AG的特征多项式是相同的。

由于χAG（t）=χG（t），因此对这两个符号不加以区分。

引理2.3［10］设G是一个n边形，G对应的图构形AG的定义多项式为

则AG的特征多项式为

引理2.4［1］设A=A1×A2，则πA（t）=πA1（t）πA2（t），其中πA（t）是构形A的庞加莱多项式。

注2.1构形A的特征多项式和庞加莱多项式的关系为χA（t）=tnπA（-t-1），其中n是构形A所在的空间维数。

定理2.1设图G1，G2分别为一个m边形和一个n边形（m，n≥3），其中G1，G2有且只有一条公共边，则简单图G=G1⋃G2对应的图构形AG的特征多项式为

证明应用以上4个引理来证明此定理。不妨设G中边e为图G1，G2的公共边，则G-e为一个m+n-2边形，G/e为一个m-1边形和一个n-1边形构成的图形，其中m-1边形和n-1边形有且只有一个公共顶点。对于G、G-e、G/e中顶点的标号作如下的说明：设G1，G2这两个图形左右排列，公共边按照逆时针方向分别标记两个顶点为x1，x2，接下来按照逆时针方向标记G1的剩余顶点，当G1标记完毕后，再按照逆时针方向标记G2的剩余顶点。以m=6，n=4的情形为例画出相应的图G、G-e、G/e及它们的顶点标记，如图1所示。

设图G、G-e、G/e所对应的图构形分别为AG、AG-e、AG e，其中AG和AG-e所在的空间是m+n-2维，AG e所在的空间是m+n-3维。下面我们分别求出AG-e和AG e的特征多项式。

（1）求AG-e的特征多项式。

由于G-e是一个m+n-2边形，由引理2.3可知，

（2）求AG e的特征多项式。

G/e是一个m-1边形和一个n-1边形构成的图形，且两个多边形有且只有一个顶点。G/e中共有m+n-3个顶点，按照上面顶点标记的说明，可知AG e中共含有m+n-2个超平面，且

作如下的坐标变换：

则

设

由可约构形的定义，AG e是可约构形，且AG e=A1×A2。 A1，A2分别看做 m-1边形和n-1边形对应的图构形，因此由引理2.3可知，

由注2.1，特征多项式和庞加莱多项式的关系可知，

由于AG e=A1×A2，由引理2.4可知，

因此，

再由引理2.1可知，

证明完毕。

注2.2由于t|（t-1）n-1+（-1）n-1（t-1），（n≥3），因此定理2.1中给出的式子是一个m+n-2次多项式。

例2.1对于图1中给出的m=6，n=4的情形，我们分别得到AG-e和AG e的特征多项式如下：

因此，AG的特征多项式为

4　总结

本文给出两个多边形有且只有一条公共边时，所得到简单图对应图构形的特征多项式，即本文的定理2.1。此定理可以将多边形的个数进行推广，即研究若干个多边形两两相连后，所得图构形的特征多项式。当然，在推广后的问题中，我们还需要深入研究的是多边形相连的方式和顺序对于特征多项式的影响。

［1］OrlikP，TeraoH.Arrangementsofhyperplanes ［M］.GrundlehrenderMathematischenWissenschaften，300，Springer-Verlag，Berlin，1992.

［2］Terao H.Generalized exponents of a free arrangement of hyperplanes and Shephard-Todd-Brieskorn formula［J］.Invent.Math，1981（63）：159-179.

［3］ Solomon L，Terao H.The double Coxeter arrangement［J］.Comm.Math.Helv，1998（73）：237-258.

［4］Yoshinaga M.Characterization of a free arrangement and conjecture of Edelman and Reiner［J］.Invent.Math，2004（157）：449-454.

［5］Abe T，Terao H，Wakefileld M.The characteristic polynomial of a multiarrangement［J］.Adv.In Math，2007（215）：825-838.

［6］Gao R M，Pei D H，Terao H.The Shi arrangement of the typeDl［J］.Proc.Japan Acad.Ser. A，2012（88）：41-45.

［7］Abe T，Terao H.Simple-root bases for Shi arrangements［J］.J.Algebra，2015（422）：89-104.

［8］AthanasiadisC.A.Characteristicpolynomialsof subspace arrangements and finite fields［J］.Adv.In Math，1996（122）：193-233.

［9］Stanley R P.An introduction to hyperplane arrangements［Z］.In Geometric Combinatorics，IAS/ Park City Math Ser，Amer Math Soc.Providence，RI，2007（13）：389-496.

［10］ 高瑞梅.超平面构形及其特征多项式［J］.长春理工大学学报：自然科学版，2014，37（5）：151-154.

The Characteristic Polynomials of a Class of Graphical Arrangements

GAO Ruimei
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

The arrangement of hyperplanes，which is a branch of singularity theory，is a hypersurface with non-isolated singularities.The arrangement of hyperplanes is a new interdisciplinary field which comes from combinatorics，algebra，topology，algebraic geometry and so on.The greatest charm of the theory of hyperplane arrangements is expressing topological invariants of the complement space in terms of combinatorics and algebra.The characteristic polynomials are combinatorial invariants for hyperplane arrangements，and play important roles in the studying of the properties of the aspects of combinatorics，algebra and topology.In this paper，the characteristic polynomials of a class of graphical arrangements are established by the chromatic theory of the vertices graphs.

hyperplane arrangement；graphical arrangement；characteristic polynomial

O189.1

A

1672-9870（2015）06-0123-04

2015-08-26

国家自然科学基金资助项目（11501051）；吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目（吉教科合字［2015］第52号）；长春理工大学科技创新基金项目（XJJLG-2014-01）

高瑞梅（1983-），女，博士，讲师，E-mail：gaorm135@nenu.edu.cn