翟学锋，卫志农，范立新，徐 钢，王成亮，刘亚南

（1.江苏方天电力技术有限公司，江苏 南京 211102；2.河海大学 可再生能源发电技术教育部工程研究中心，江苏 南京 210098）

0 引言

发电机进相运行是一种常用的电网调压方式，其调压效果好，操作方便。发电机进相运行采用的是欠励运行方式，即发出有功功率同时吸收无功功率。实践中通过发电机进相运行试验来评估发电机的进相能力，根据试验结果调节电压[1-3]。从20世纪50年代至今，发电机进相运行能力研究已经取得了丰富的成果[4-6]。

由于发电机进相工况点较多，发电机进相运行试验并不能枚举各个工况，同时试验工况与实际运行的工况有一定的差异，如何根据典型工况进相试验推断所有实际工况下的发电机进相能力，即研究进相试验结果的泛化能力具有实际意义。

现有的发电机进相能力研究还是采用数学模型计算法和试验结果拟合法。数学模型计算法通过固定机端电压或者假定同步电抗不饱和，建立发电机进相时各个量的数学模型，从而计算发电机的进行能力。但发电机进相运行其实是一个复杂的非线性系统，很难建立准确的数学模型，因此这种方法计算量大、精度较低。试验结果拟合法是假定发电机进相各变量是线性关系，根据试验结果采用最小二乘法等拟合出各变量的曲线[7]，但其忽略了试验过程中参数之间的关系和变化，计算精度低。

针对传统方法的不足，文献[8]利用神经网络具有逼近任意非线性输入输出关系的能力，建立基于神经网络的发电机进相能力模型，但其算法易陷入局部最小值，无法获得全局最优解，同时收敛速度慢。文献[9]采用径向基函数 RBF（Radial Basis Function）网络建立发电机进相能力模型，该方法计算简单，收敛速度快，能够克服BP神经网络无法得到全局最优解的缺点，但是基函数中心难以确定，进而会影响网络的性能。

Tipping M E在2000年首次提出了相关向量机RVM（Relevance Vector Machine）理论[10-12]，该方法是在支持向量机SVM（Support Vector Machine）的基础上，结合了贝叶斯学习理论。与SVM相比，RVM具有3个优点：核函数选择灵活，不需要满足Mercer条件限制；相关向量数量少，稀疏性更好；训练时间短，泛化性能更好。同时RVM对小样本处理效果更好，而BP神经网络、RBF神经网络需要大量的数据才能得到精度高的收敛结果。

RVM 已在电力系统负荷预测[13-14]、风速预测[15]、变压器故障诊断[16-17]、特高压输电线可听噪声预测[18]等领域使用。本文采用RVM对发电机进相运行能力进行建模，输入样本选择发电机有功和无功功率，输出样本是发电机的功角和电网电压，通过发电机进相运行试验得到模型的训练样本和测试样本。结合600 MW发电机进相能力RVM模型，研究了核函数对RVM模型精度的影响。与其他发电机进相能力模型的比较结果显示，RVM模型精度更高。

1 发电机进相运行的基本原理

发电机正常运行是迟相运行，即同时发出有功功率和无功功率，功率因数角为正值；发电机进相运行是发出有功功率、吸收无功功率[19-20]。

以隐极发电机为例，如图1所示，发电机直接与无穷大系统相连，固定端电压UG，发电机电势为Eq，同步电抗为Xd，发电机功角为δ，负荷电流为I，功率因数角为φ，励磁电流为If。

图1 发电机迟相与进相运行相量图Fig.1 Phasor diagram of generator lagging and leading phase operations

增大励磁电流If，发电机电势Eq变大，负荷电流I产生去磁电枢反应，功率因数角φ滞后，此时发电机迟相运行，如图1（a）所示；反之，减小励磁电流If，发电机电势Eq减小，电流I产生助磁电枢反应，功率因数角φ超前，此时发电机进相运行，如图1（b）所示。发电机进相运行能够吸收系统的过剩无功，从而调节电压过高问题。

2 RVM原理

RVM是基于贝叶斯理论的机器算法，其通过引入超参数对权值赋零来确保稀疏性；采用最大似然函数的方法来估计超参数，因此参数容易确定，计算方便。

其中，K（x，xi）为核函数；ε 为服从 N（0，σ2）分布的各独立样本误差；wi为权系数；NS为样本数量。

RVM模型的概率公式为：

其中，N（·）为高斯分布函数，其期望为 y（xi；w），方差为 σ2。

对于不同的输出集，样本的似然函数为：

根据概率预测公式，所求的条件概率为：

在使用极大似然函数方法对w和σ2进行求解时，结果通常会出现严重的过适应，为此需要对w加上一个先决条件来避免这种现象。根据贝叶斯定理，w为分布为零的标准正态分布，同时引入超参数α=[α0，α1，α2，…，αNS]T，可得：

因此，概率预测式改为：

对每个权值设定其相应的先决条件是RVM的重要特征。该先决条件可以通过超参数α来体现，它符合伽马分布。在经过足够的更新次数后，大部分αi会趋于无穷大，其对应的权值w趋于0；而其他的αi会趋于合理的稳定值，与之对应的向量xi则称为相关向量，这样就能够实现RVM中相关向量的高稀疏性。

在定义了先验概率分布及似然分布以后，根据贝叶斯定理，能够得到所有未知参数的后验概率分布为：

后验协方差矩阵为：

通过迭代算法计算最佳的超参数，从而确定模型的权值，即有：

其中，μi为第 i个后验平均权；Ψi，i为后验协方差矩阵中的第i个对角元素。

若给定新的输入值x*，则相应的输出概率分布服从高斯分布，其相应的预测值为 y*=μTφ（x*）。

下面给出RVM的计算步骤。

a.选择核函数。RVM核函数选择灵活，常用是高斯核函数，其只需要设置带宽参数。

b.对超参数α和核函数宽度σ进行初始化。RVM计算过程中，这2个参数通过迭代计算，不需要人工干预。

c.迭代计算获得权重，从而进行预测。

3 发电机进相能力的RVM模型

发电机进相调压本质上为一非线性过程，而RVM具有很强的非线性处理能力。调压能力和功角大小是进相运行需特别关注的方面，而后者已成为判断进相运行时发电机是否失步的主要依据。因而，结合进相调压效果，在一定的有功和无功出力条件下，对进相运行的发电机进行功角建模分析具有重要意义。本文的RVM模型的输入样本为发电机有功功率和无功功率，输出样本为发电机的功角和电网电压，继而分析有功功率和无功功率一定情况下，发电机进相的调压效果和发电机进相运行的功角。

3.1 样本数据的预处理

所选择数据存在数量级的差异，因此需要对原始数据进行归一化处理，以加快收敛速度。归一化原理为：

3.2 RVM核函数的选择

机器学习算法的重要特征就是在计算过程中考虑核函数，核函数的引入能够提高算法的非线性处理能力，核函数方法实现了不同空间之间的非线性变换。RVM也是基于核函数方法的模式识别技术，但其核函数选择有很大的自由度，不需要满足Mercer条件。

混合核函数的基本思想[22-23]是：不同的核函数具有不同的性质，将这些核函数结合起来，使得组合后的核函数能够具有更好的特性。

由中心极限定理可知，高斯核函数是局部核函数，在众多核函数中具有优异的特性，而多项式核函数是全局核函数。因此，本文将这2种核函数进行线性组合得到的函数作为RVM模型的核函数。为了方便起见，选择如下二项式函数：

其中，P（xi，xj）为二项式核函数；G（xi，xj）为高斯核函数；λ为核函数权重，0≤λ≤1，λ=0或 λ=1时为单一核函数。

由于核函数是机器学习算法最重要的部分，选择适当的核函数对结果起着至关重要的作用。发电机进相能力RVM模型中超参数α的最优解可以通过训练自适应得到，核函数宽度σ和权重λ采用网格搜索法获得，以避免主观性。

3.3 发电机进相能力模型的评价标准

对发电机进相能力模型需要设定评价标准，本文采用绝对误差（eAE）和平均绝对百分比误差（eMAPE），其表达式为：

4 算例分析

以江苏电网某额定有功功率PN为600 MW的汽轮发电机为例，在 50%PN、75%PN、100%PN下进相试验所获得的典型试验数据如表1所示（参考文献[8-9]）。任选表1中2组数据为测试样本（以14和21号样本为例），其余数据为训练样本。

表1 训练样本和测试样本Table 1 Training samples and test samples

以14号样本的功角为例，确定最优的核函数组合。分别选择Sigmoid函数、线性函数、二项式函数、RBF核函数、RBF+Sigmoid函数、RBF+线性函数、RBF+二项式函数作为核函数对14号样本的功角进行建模，比较不同核函数的仿真结果，如表2所示。

表2 不同核函数的仿真结果Table 2 Simulative results for different kernel functions

由表2可以得出，不同的核函数对应的eMAPE差别很大。对于单一核函数，RBF核函数仿真结果的eMAPE为1.85%，误差远小于其余的单一核函数。本文选择的组合核函数（RBF+二项式函数）仿真结果的eMAPE为0.43%，收敛效果优于各个单一核函数以及其他的组合核函数。因此，后续都采用RBF+二项式函数的组合核函数作为最终的核函数进行建模研究。

以1～13号样本为训练集、14～21号样本为测试集，建立发电机进相能力的RVM模型，结果如表3所示。

表3 RVM网络输出值Table 3 Outputs of RVM network

从表3可以得出，发电机进相能力的RVM模型的精度比较高，误差都在1%以下。

分别建立基于BP神经网络、RBF神经网络和SVM网络的发电机进相能力模型，与本文的RVM模型进行比较，仿真结果如表4、表5、表6和表7所示（工况1代表14号样本，工况2代表21号样本）。

从表4、5的工况1电压、功角仿真结果可以看出：RVM模型的仿真结果优于同等条件下其余3种模型；BP神经网络因为采用梯度下降法优化权值，优化过程中只能保证收敛到其中一点，因此性能较差；RBF网络计算速度快，但是基函数中心很难确定，进而直接影响到最后的结果，需要反复试验；SVM网络性能比较好，能够得到全局最优解，但是RVM网络稀疏性更高，收敛速度更快。仿真结果验证了RVM理论在发电机进相能力建模中的可行性。

表4 工况1电压仿真结果Table 4 Results of voltage simulation in condition 1

表5 工况1功角仿真结果Table 5 Results of angle simulation in condition 1

表6 工况2电压仿真结果Table 6 Results of voltage simulation in condition 2

表7 工况2功角仿真结果Table 7 Results of angle simulation in condition 2

分别选择同容量（600 MW）不同型号、不同容量（300 MW）相同型号的发电机建立RVM模型，样本如表8、表9所示，仿真结果如表10、表11所示。可见，RVM模型适应性比较强，能够满足发电机进相能力建模的要求，具有一定的推广价值。

表8 不同型号的训练样本与测试样本Table 8 Training samples and test samples of different types

表9 不同容量的训练样本与测试样本Table 9 Training samples and test samples of different capacities

表10 不同型号发电机仿真结果Table 10 Simulative results of different types

表11 不同容量发电机仿真结果Table 11 Simulative results of different capacities

5 结论

针对现有的发电机进相建模方法精度低、泛化能力差等缺点，本文提出一种基于RVM的发电机进相能力建模新方法，研究了不同核函数对仿真精度的影响，并选择了高斯函数与二项式函数的组合核函数进行建模。该方法克服了BP神经网络训练时间长、泛化能力差、容易陷入局部极小、隐含层节点个数难以确定等缺点，同时克服了RBF网络基函数中心难以选择的问题，较之SVM网络，该方法稀疏性更好、核函数选择更加灵活，组合核函数的使用提高了模型的精度，为发电机进相能力建模提供了一种新的有效方法。