邓瑞娟(芜湖职业技术学院，安徽芜湖241000)

一类具偏差变元二阶微分方程周期解的存在性*

邓瑞娟
(芜湖职业技术学院，安徽芜湖241000)

主要利用Mawhin延拓定理研究一类二阶具偏差变元微分方程x″(t)+f(t，x(t)，x(t－τ0(t))，x'(t))+β(t)g(x(t－τ1(t)))=p(t)的周期解问题，得到了存在周期解的两个充分条件.

Mawhin延拓定理;偏差变元;周期解

1　基础知识

近年来，具偏差变元的微分方程由于其在控制论、生物学等很多领域有重要应用，一直受到人们的广泛关注，也已经有了一定的成果［1-9］.此处主要是运用重合度理论的Mawhin延拓定理研究如下具偏差变元二阶微分方程的周期解:

其中，f(t，x，y，v)是R4上的连续函数，同时还是以T为周期的函数.而g(x)，β(t)，p(t)，τ0(t)和τ1(t)均为R上的连续函数，其中β(t)，p(t)，τ0(t)和τ1(t)都是以T为周期的函数.

于是

显然，L是指标为零的Fredholm算子.假定P，Q为投影算子

下面给出将会使用到的引理.

引理1［4］(Mawhin延拓定理)设X，Y为Banach空间，L:D(L)⊂X→Y是指标为零的Fredholm算子，Ω⊂X为有界开集上是L－紧的，如果下列条件满足:

则方程Lx=Nx在Ω∩D(L)上至少存在一个解.

2　主要结果

定理1设方程(1)满足条件:

下面证明存在ξ∈R，使得

于是有

令t2为x(t)在R上取得最小值的点，则x'(t2)=0，x″(t2)≥0，由式(2)得

下面讨论:

(Ⅰ)若t2=t1，则x(t)≡C，且，则存在ξ∈R，使得

(Ⅱ)若t2≠t1，由式(6)知存在常数K2＞0，有x(t2－τ1(t2))＜K2．

(A)若x(t2－τ1(t2))∈(－K1，K2)，则取ξ=t2－τ1(t2)，此时有

(B)若x(t2－τ1(t2))＜－K1，由式(5)及x(t)的连续性及介值定理知一定存在t1－τ1(t1)，t2－τ1(t2)之间的某个ξ，使得

因此

由于x(0)=x(T)，故必有t*0∈［0，T］，使得，同上可得

于是

将式(2)两端同乘以x'(t)，并在［0，T］上积分，得

由定理1的条件①可得

则由式(9)-(11)和柯西不等式可得

由此可得

作变换

故H(x，α)为同伦映射，取J为恒同映射，有

由引理1知，方程(1)至少存在一个T－周期解.

为了下面的证明，假……