帅亚军，罗明(西南大学数学与统计学院，重庆400715)

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)

帅亚军，罗明
(西南大学数学与统计学院，重庆400715)

运用递推数列的方法，证明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解.

不定方程;整数解;递归数列

当(m，n)=1，m，n∈N*时，对形如mx(x+1)(x+2)(x+3)=ny(y+1)(y+2)(y+3)的不定方程已有不少研究工作［1-8］.1971年，Cohn［1］证明了当(m，n)=(1，2)时，不定方程仅有正整数解(x，y)=(5，4);1975年，Ponnudurait［2］证明了当(m，n)=(1，3)时，不定方程仅有正整数解(x，y)=(3，2)，(7，5);1982年，宣体佐［3］证明了当(m，n)=(1，5)时，不定方程仅有正整数解(x，y)=(2，1);1991年，罗明［4］证明了当(m，n)=(1，7)时，不定方程仅有正整数解(x，y)=(4，2);2001年，罗明［5］证明了当(m，n)=(1，6)时，不定方程仅有正整数解(x，y)=(7，4);2007年，程瑶、马玉林［6］证明了(m，n)=(1，11)时，不定方程无正整数解;2013年，郭凤明、罗明［7］证明了当n=10时，不定方程无正整数解.为此，在上述基础上利用同余式和递归数列方法证明，当m=1，n=26时，不定方程

无正整数解.

先将方程(1)化为

易知方程X2－26Y2=－25的全部整数解［9］，由以下4个类给出:

或者

由式(3)(4)不难推出下列关系式:

下面将证明式(3)仅当n=－1，0时成立，式(4)仅当n=0时成立.由此求得方程x2－26(y2+3y+1)2=－25的全部整数解，进一步求得式(1)的全部正整数解.

引理2若式(3)式成立，则n≡－1，0(mod 840).

证明用对序列{4yn+5}取模的方法证明.

mod 11，排除n≡1，2(mod 5)，此时4yn+5=7，7(mod 11)，剩n≡0，3，4(mod 5).

mod 191，排除n≡3(mod 5)，此时4yn+5≡112(mod 191)，剩n≡－1，0(mod 5).

mod 337，排除n≡1，3，4，5，6，7，8，9，10，13，14，，15，16，18，19，20，21，22(mod 24)，此时4yn+5≡249，288，319，72，122，77，155，68，215，131，178，98，59，28，275，270，192，279，132，216(mod 337)，剩余n≡0，－1，12，17(mod 24).

mod 3 467，排除n≡5(mod 12)，此时4yn+5≡3 308(mod 3 467)，剩n≡－1，0，12(mod 24).

下面用计算排除n≡12(mod 24).令n=24t+12，若2|t，则n≡12(mod 48)，mod 47，排除n≡12(mod 48)，此时4yn+5≡17(mod 47);若2 t，则n≡36(mod 48)，mod 47，排除n≡36(mod 48)，此时4yn+5≡40(mod 47)，故式(3)不成立.从而排除n≡12(mod 24)，剩余n≡－1，0(mod 24).因为n≡－1，0(mod 5)，n≡－1，0(mod 24)，故n≡－1，0(mod 120).

下证n≡－1，0(mod 28)，mod 197，排除n≡1，2，3，5，6，8，9，10，11，12(mod 14)，此时4yn+5≡52，67，175，26，38，155，140，32，63，181(mod 197)，剩余n≡－1，0，4，7(mod 14).

mod 6 691，排除n≡4，7，13，18，21(mod 28)，此时4yn+5≡2 034，1 618，6 532，4 667，5 083(mod 6 691).剩余n≡－1，0，14(mod 28).

下面用计算排除n≡14(mod 28)，令n=28t+14.若2|t，则n≡6(mod 8)，mod 743，排除n≡6(mod 8)，此时4yn+5≡383(mod 743);若2 t，则n≡2(mod 8)，mod 743，排除n≡2(mod 8)，此时4yn+5≡370(mod 743)，从而得证n≡－1，0(mod 28).因为n≡－1，0(mod 120)，所以n≡－1，0(mod 840).

引理3设n≡0(mod 840)且n＞0，则式(3)不成立.

1)k≡1(mod 4)时，令

于是，由式(8)(10)及引理1，有4yn+5≡4y2m+5=4v2m+5(mod u2m)，得.从而4yn+5非平方数，故式(3)不成立.

2)k≡－1(mod 4)时，令

表1　k≡1(mod 4)数据情况

表2　k≡－1(mod 4)数据情况

于是，由式(8)(10)及引理1，有4yn+5≡－4y2m+5≡－4v2m+5(mod u2m)，得.从……