万祥兰

摘 要： 全概率公式和贝叶斯公式是概率教学中的重难点.本文利用启发式、总结式等方法，对全概率公式和贝叶斯公式进行教学设计，并结合实例，给出相关的应用.

关键词： 全概率公式 贝叶斯公式 完备事件组

1.引例

某厂使用甲、乙、丙三个产地的同型号电子元件用于生产电脑，其来自三地的元件数量各占0.25，030，0.45，且它们的合格率分别为0.95，0.96，0.97，

（1）若任取一元件，问取到的是合格品的概率是多少？

（2）若查出某一元件不合格，问该元件最有可能来自何地？

在第（1）问中，虽不知元件产自何地，但知道必是甲、乙、丙三地之一，合格率的大小与产地有关，而第（2）问则是已知结果追溯原因，并作出决策.为此引出解决这两类问题的方法，即全概率公式、贝叶斯公式及贝叶斯决策.

2.全概率公式和贝叶斯公式

定理：设事件A ，A …A 两两互不相容，P（A ）>0（I=1，2，…，N），且 A =Ω，则对任一事件B，有

全概率公式：P（B）= P（A ）P（B|A ）

贝叶斯公式：若P（B）>0，则P（A |B）= （i=1，2，…n）

证明参见教材.

由这个定理可得例2的解如下：

设A ，A ，A 分别表示“电子元件来自甲、乙、丙三地”，则A ，A ，A 构成Ω的一个划分，又设B表示“取得的元件为合格品”，易知

P（A ）=0.25，P（A ）=0.30，P（A ）=0.45，P（B|A ）=0.95，P（B|A ）=0.96，P（B|A ）=0.97

于是

（1）P（B）= P（A ）P（B|A ）=0.25×0.95+0.30×0.96+0.45×0.97=0.9620

（2）P（A | ）= = =0.3289

同理，P（A | ）= =0.3157

P（A | ）= =0.3552

由计算结果知P（A | ）>P（A | ）>P（A | ）.

从这个例子可以看到，全概率公式和贝叶斯公式的条件完全相同，是一个问题的两个方面.在全概率公式中，构成划分的事件A ，A …A 是导致试验结果的原因，故P（A ）叫先验概率，而在贝叶斯公式中P（A | ）叫后验概率，这是知道结果再追溯原因出在何处，并由此作出贝叶斯决策，这种决策方法在随机信号处理、投资决策和风险管理等……