王儒　朱钰文　蒋俊豪

摘要：本文介绍了秩亏自由网平差的原理，并结合南京地铁一号线南延线永久结构监测小龙湾站到龙眠大道站具体实例分析了秩亏自由网平差在变形监测中的应用。

关键词：秩亏自由网；变形监测

1.引言

经典测量平差要求误差方程系数列满秩，如此可以保证最小二乘准则下法方程解即未知参数的唯一性。然而在很多情况下，如起算数据不足，则会出现误差方程系数降秩，由此将导致法方程系数奇异，正则逆不存在，从而难以保证法方程解的唯一性。这时就需要采用秩亏自由网平差方法来进行网形平差。

2.秩亏自由网平差的直接算法

2.1基本原理

有误差方程

V=AX-1D1=σ20P-1（1）

其中R（A）=t

NX=ATPl （2）

其中，R（N）=R（ATPA）=R（A）=t

XTX=min （3）

估计法方程（2），有

φXTX-2KT（NX-ATPl）=min （4）

对X求偏导并令其为零，得

X=NK （6）

代入（2）式，则

NNK=ATPl （7）

由广义逆理论，可得

K=（NN）-ATPl+（I-N-N）M （8）

代入（6）式，有

Xr=N（NN）-ATPl+（N-NN-N）M=N-mPl （9）

式中N-m=N（NN）-

2.2精度评定

2.2.1单位权方差

单位权方差的无偏估计公式为

σ20=VTPVf=VTPVn-t

2.2.2未知参数估计量X的方差

由协因数传播率结合（9）式，得

QXrXr=N-mATPQPA（N-m）T=N（NN）-N（NN）-=N+

未知参数的方差矩阵为

DXrXr=σ20QXrXr

3.工程实例

南京地铁一号线南延线小龙湾站到龙眠大道站变形监测网如右图所示，监测数据见下表，采用秩亏自由网平差进行平差。

起点终点高差（m）距离（km）

XLWZSL1.404631.498

ZSLTYDD-1.005652.062

TYDDXLW-0.398493.402

依次记点XLW、ZSL、TYDD的近似高程为0m，1.40463m，0.39849m。以1km的权为单位权，则P=diag[0.668，0.485，0.294]，则误差方程V=AX-l，

其中，A=-1100-1110-1，l=00.490，则

N=0.9620-0.6680-0.2940

-0.66801.1530-0.4850

-0.2940-0.48500.7790，

ATPl=0-0.23770.2377，

NN=1.4581-1.2702-0.1879

-1.27022.0109-0.7406

-0.1879-0.74060.9285，

可得Xr=0-0.20790.1188，所以，有高程平差值：

HXLW=0m，HZSL=1.40439m，HTYDD=0.39873

精度评定，得V=-0.2079-0.1632-0.1188，σ20=0.0460mm，可见精度符合变形监测的精度要求。

4.结论

本文主要介绍了秩亏自由网平差方法在变形监测中的应用，并结合具体实例验证了其可行性。

[参考文献]

[1]张勤，岳东杰等.近代测……