高婷梅

（陕西理工学院 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723000）

一类p-拉普拉斯Neumann问题正解的存在性

高婷梅

（陕西理工学院 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723000）

利用极小极大原理，证明了一类 p-拉普拉斯Neumann问题正解的存在性.

极小极大原理；Neumann问题；正解

1　引言及主要结果

本文考虑如下 p-拉普拉斯Neumann问题：其中Δpu是 p-拉普拉斯算子且 p＞1，Ω是RN中具有C2边界的有界区域，n（x）是x∈∂Ω处的外法向单位向量，λ＞0是参数.

当λ=1时，方程（1）被进行了广泛的研究，并得出了很多有趣的结论［1-5］. 文献［1］中，作者利用了上下解的方法，文献［2-3］中，作者利用了Landesman-Lazer条件，文献［4］对强共振问题进行了讨论，文献［5］应用极小极大原理得到了方程（1）的非平凡解.本文将λ=1推广到一般的λ＞0，不仅可以得到方程（1）的非平凡解，而且还将证明方程（1）存在正解.

本文的主要结果如下：

（f1）f（x,0）=0且∀t≠0,f（x,t）t＞0；（f2）∀r＞0,∃ar∈L∞（Ω）+,st:∀ ||t≤r,||f（x,t）≤ar（x）a.e.x∈Ω；

（f5）∃δ＞0,q∈（1,p）及C＞0,st:∀ ||t≤δ,F（x,t）≥C||tqa.e.x∈Ω一致成立.则对每一个λ＞0，方程（1）至少存在一个正解.

2　主要结果的证明

引理1假设函数 f（x,t）满足（f1）-（f5），则Iλ（u）满足C条件.

于是由法都引理，有

然而，由（2）式可知，

且有

由（7）式可得，

所以，由（6），（8）及λ＞0，可推出

由Sobolev紧嵌入及必标准化过程，可知存在u∈W1,p（Ω）及的子序列（仍记为），使得un→u（n→∞）在W1,p（Ω）中，即Iλ（u）满足C条件.

引理2假设函数 f（x,t）满足（f1）-（f5），则当||t→+∞（t∈R）时，Iλ（t）→-∞.

则由引理2和引理3，∃τ0＞0,st:

则有以下结论：

引理4［5］假设函数 f（x,t）满足（f1）-（f5），则｛C0,C｝ 和D在W1,p（Ω）中是局部环绕的.

类似地，

由γ1,γ2,γ3的定义以及（14），（15），（16）式，∃γ*∈Γ,st:Iλ|γ*

＜0.于是，结合（f1），∃γ*∈Γ,st:

因为u0≠0是Iλ（u）的临界点，则A（u0）=λf（x,u0），再利用非线性格林不等式，可得

所以，u0≠0是方程（1）的解.由正则性理论［6］，u0∈

因为条件（f1）成立，则有

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Existence Result on Positive Solution for a Class ofp-Laplacian Neumann Problems

GAO Ting-mei
（School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,China）

Using the minimax principle,the author of this paper obtained a positive solution for a class ofp-Laplacian Neumann problems.

minimax principle；Neumann problems；positive solution

177.91

A

1008-2794（2015）02-0091-05

2014-02-25

通讯联系人：高婷梅，助教，硕士，研究方向：非线性泛函分析，E-mail：gtmgtmgtm@126.com.