薛道飞

绝对值不等式

例1 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在[P]的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？

证明 以公路为数轴，设六个村庄在数轴上的坐标分别为[a1，a2，a3，a4，a5，a6].如果车站建在[x]处，由绝对值不等式得，

[S（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a6|]

[≥|（x-a1）+（x-a2）+（x-a3）-（x-a4）-（x-a5）-（x-a6）|]

[=|a4+a5+a6-a1-a2-a3|].

等号在[x∈[a3 ，a4]]时取到，所以应在第三个或第四个村庄之间建造车站.如果在[P]处再增加一个村庄，同理知建在[D]处较好.

点拨 本题显然是一道实际应用问题，其中所用的数学知识不多，但注重分析能力.所谓分析问题，就是把事实看清楚，把道理说明白，说得有头绪，说得恰到好处.把问题解决以后，可以再想一想，如果有[n]个村庄怎样？如果还是六个村庄，但是要考虑乘车人数又怎样？这类问题叫做原题的推广.为了提高我们分析问题和解决问题的能力，积累我们的知识，应当注意用这种推广的方法来进行学习.

基本不等式

例2 若正数[a，b，c]满足[a+b+c=1]，

求证：[（a+1a）（b+1b）+（c+1c）≥100027].

分析 在学习“不等式的证明”时，大多都证明过这样的习题：若正数[a，b]满足[a+b=1]，求证：[（a+1a）（b+1b）≥254].解决这道习题并不困难，现简证如下：先得到[0

证明 因为本题的不等式，当且仅当[a=b=c=13]时取等号，为了使[a+1a=a+1ma+1ma+…+1ma]（共[m]个[1ma]）能使用平均值不等式且等号能够取到，须[a=1ma]且[a=13]，得[m]=9.所以有如下证法：

[a+1a=a+19a+19a+…+19a]（共9个[19a]）

[≥10a（9a）910].

同理，有[b+1b≥10?b（9b）910，c+1c≥10?c（9c）910] .

所以[（a+1a）（b+1b）（c+1c）≥103?abc（93abc）910].

再由[0

[（a+1a）（b+1b）（c+1c）≥100027]（当且仅当[a=b=c=13]时取等号）.

柯西不等式

例3 设[a1>a2>…>an>an+1]，求证：[1a1-a2+][1a2-a3+…+1an-an+1+1an+1-a1>0].

分析 前[n]个式子都大于零，第[n+1]个式子小于零，可将原不等式化为[1a1-a2+1a2-a3+…+][1an-an+1>1a1-an+1]，即[（a1-an+1）（1a1-a2+1a2-a3+…][+1an-an+1）>1]. 再由[a1-an+1=（a1-a2）+（a2-a3）+…+][（an-an+1）]结合……