马玉湖

含多个绝对值的不等式

例1 解不等式[|x+3|-|2x-1|

分析 利用零点分段法求解.

解 （1）当[x≤-3]时，

原不等式化为[-（x+3）-（1-2x）][

解得[x<10]，∴[x≤-3].

（2）当[-3

原不等式化为[（x+3）-（1-2x）

解得[x<-25]，∴[-3

（3）当[x>12]时，

原不等式化为[（x+3）-（2x-1）

解得[x>2]，∴[x>2].

综上，不等式解集为[{x|<-25或x>2}.]

点拨 形如[|x-a|+|x-b|≥c]（或[≤c]）型的不等式主要有三种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为[（-∞，a]，（a，b]，（b，+∞）]（此处设[ac]（[c>0]）的几何意义，数轴上到点[x1=a]和[x2=b]的距离之和大于[c]的全体点. （3）图象法：作出函数[y1=|x-a|+|x-b|]和[y2=c]的图象，结合图象求解.

例2 设函数[f（x）=|x-1|+|x-a|]，

（1）若[a=-1]，解不等式[f（x）≥3]；

（2）如果[?x∈R]，[f（x）≥2]，求实数[a]的取值范围.

分析 零点去绝对值法适用于含有多个绝对值的不等式的求解问题.

解 （1）当[a=-1]时，[f（x）=|x-1|+|x+1|]，

由[f（x）≥3]得：[|x-1|+|x+1|≥3]，

方法一：由绝对值的几何意义知，不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].

方法二：不等式可化为

[x≤-1，-2x≥3，]或[-11，2x≥3，]

∴不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].

（2）若[a=1]，[f（x）=2|x-1|]，不满足题设条件.

若[a<1，f（x）=-2x+a+1， x≤a，1-a， a

[∴f（x）]的最小值为[1-a].

若[a>1，f（x）=][-2x+a+1， x≤1，1-a， 1

[∴f（x）]的最小值为[a-1].

所以[?x∈R]，[f（x）≥2]的充要条件是[|a-1|≥2]，

从而[a]的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）.

点拨 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根.把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间.按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集.

含参数的绝对值不等式问题

例3 已知不等式[|x+1|-|x-3|>a].

（1）若不等式有解；

（2）不等式的解集为[R]；

（3）不等式的解集为?，分别求出[a]的取值范围.

分析 利用绝对值的几何意义，求出[|x+1|-|x-3|]的最值，结合题目条件求解.

解法一 因为[|x+1|-|x-3|]表示数轴上的点[P（x）]与两定点[A（-1）]，[B（3）]距离的差，

即[|x+1|-|x-3|=PA-PB].

由绝对值的几何意义知，[PA-PB]的最大值为[AB=4]，

最小值为[-AB=-4]，即[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].

（1）若不等式有解，[a]只要比[|x+1|-|x-3|]的最大……