王丹峰（延边第二中学，吉林 延吉 133000）

深入理解教材 灵活使用教材
——《双曲线定义及其标准方程》教学感悟

王丹峰
（延边第二中学，吉林 延吉 133000）

本节课的重点是双曲线的定义，在定义的探究过程中，采取了整体呈现的方式，帮助学生深刻全面的理解双曲线的定义。在推导双曲线标准方程时采用了类比的策略，使学生既能轻松推导出方程，又能用联系的观点看待研究对象。

双曲线定义；标准方程；整体呈现；类比

数学教材是数学知识的载体，是教师进行教学活动的主要依据，是学生学习和掌握数学知识的主要工具。但是在实际教学中常常出现照本宣科和脱离教材的情况，教材的价值得不到体现，降低了课堂教学的有效性。如何有效使用教材成为一名教师的必修课，也是衡量一名教师是否成熟的一个重要标志。

一、深入理解教材，整体把握内容要求

有效使用教材，首先必须认真研读教材、分析教材、理解教材。只有在吃透教材的基础上使用教材才能得心应手，才能使教材更好地服务课堂教学，这样课堂才更有活力。通过研读教材，发现双曲线与椭圆无论是定义方式，还是标准方程的形式都非常相类似，教材的处理办法也相仿，在知识体系中两者表现为平行关系.所以在教学中一方面要注意与以学习过的椭圆进行类比，在类比迁移中找到知识与方法的相通处；另一方面也要注重其相异点，以建构起新的数学认知.学好本节课内容是学好圆锥曲线关键之一，对后面能进一步理解由曲线求方程和由方程讨论曲线性质打好基础，从而借助形与数的对应关系，把形的问题转化为数来研究.把数的问题转化为形来讨论，帮助学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面用代数方法研究抛物线提供必要的思维工具。

【教学片断 1】类比椭圆标准方程的建立过程，推导双曲线的标准方程：

以F1F2所在直线为x轴，以F1F2的垂

直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy.

设M（x，y）是双曲线上任意一点，焦点F1

F2坐标分别为（-c，0），（c，0）.

F2坐标分别为（-c，0），（c，0）.

焦点在x轴上的椭圆标准方程：

互换x，y得到

焦点在y轴上的椭圆标准方程：

建 设

限制条件

代坐标

化简

焦点在x轴上的双曲线标准方程：

焦点在y轴上的双曲线标准方程：

这节课的一个教学难点就是推导双曲线标准方程，如果类比椭圆标准方程的建立过程推导双曲线的标志方程，不仅可以降低推导难度，而且还能够观察发现双曲线与椭圆的标准方程的异同点，便于学生理解记忆双曲线标准方程及参数含义。另外通过这个推导过程，学生再次巩固了含有两个根式的方程的化简方法，提高了计算能力，一举多得。

二、灵活使用教材，揭示概念全貌

教师要想驾驭好课堂、把握好教材，就必须认真专研教材，揣摩编写意图，

领悟精神实质。教师每天不能照本宣科，要有批判精神，既要准确全面地领悟编者意图，有要灵活地使用好教材这个教学工具，同时对使用教材教师一定要有自己的理解，必要的时候还要根据本班学生情况和教学实际对教材进行适当的改造加工，创造性地使用教材。普通高中课程标准试验教科书《数学 2-1》在本节课课前创设了一个实验情景——拉链实验，想通过这个实验帮助学生直观感知双曲线的图形特点，然后观察图形类比椭圆定义归纳总结双曲线定义。但笔者认为教材中的实验结果过于单一直白，没有让学生领略到概念的全貌，没有完整回答地“平面内到两点距离之差的点的轨迹”，根据这种教学实际情况有必要对教材中教学实验进行改造，以达到更好的教学效果。

【教学片断2】拉链实验探究双曲线定义：

实验工具：一张白板（中央取两个定点F1、F2）、一条拉链、两个图钉；

实验方案：

方案 1：在拉链底端取两个对称点左 A右 B分别固定在F1、F2处，把笔尖放在结点M处，随着拉链的拉开与闭合，笔尖就画出一条曲线，记为曲线（1）；

方案2：左点A不动，在右边B点上面取一点C固定在F2处，同样办法画出曲线（2）；

方案3：将拉链横向固定在F1、F2处，笔尖从F2向右滑动，画出曲线（3）；

实验结果

【问题1】在运动中，三条曲线上的点M 到两个定点F1、F2距离之差是多少？

【问题 3】左侧曲线上的点满足什么几何特征？

【问题 4】刚才我们和同学们总结了这五种曲线上的点各自的几何特征，那这五种曲线上的点有没有共同的特征呢？

学生4：到两定点距离之差都等于常数。

这五种曲线就回答了课前提出问题的答案，我们来认识一下这五种曲线，曲线（1）是线段F1F2的中垂线，曲线（3）（4）是线段F1F2的延长线和反向延长线，而曲线（2）（5）就是双曲线。

【问题 5】你能结合图形及点的特征，并类比椭圆定义归纳双曲线的定义吗？

学生5：平面内与两个定点F1F2距离之差的绝对值是常数（小于F1F2距离）点的轨迹叫做双曲线。其中两个定点 F1F2叫做双曲线的焦点，F1F2的距离叫焦距用2c表示，每一条叫做双曲线的一支。

通过以上对教材中拉链实验的二次改造，学生能够全面准确地掌握双曲线的概念，加深理解其数学本质，再配合上环环相扣的问题串，学生就能够顺理成章地理解双曲线标准方程中参数的几何意义及其相互关系，是学生被动式的接受知识变成主动式的探究问题。结合教学实际对教材进行有针对性的改造，既可以提高课堂教学效果，又可以锻炼提高教师业务素养，尤其对于一名青年教师来说，要想尽快地成为一名成熟教师亦或一名优秀教师，必须要学会如何号准了教材的脉，只有号准了教材的脉才能把握课堂教学的脉。

［1］华志远.“超前尝试、同伴成长”课堂教学设计的案例研究［J］.数学通讯，2010（8）.

［2］张艳，薛红霞.整体呈现 比较研究［J］.中国数学教育，2013（4）.

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1673-4564（2015）04-0131-04

2015—06—26