杨瑞娟，王 翔

(天津大学理学院数学系天津300072)

在文献[1]和文献[2]中，Lim和Qi最先介绍并研究了张量的特征值.在最近几年，非负张量的最大特征值问题备受关注.Chang等在文献[3]中将P－F定理从非负矩阵推广到了非负不可约张量上，并且将非负不可约矩阵的Collatz最小最大值定理也推广到了非负不可约张量上.在文献PF定理的进一步结果[4]中，Yang等进一步的证明了非负张量Perron－Frobenius定理，并且给出了张量的谱半径的定义，更进一步在文献[5]中将文献[3]和文献[4]的一些结论从非负不可约张量推广到了非负弱不可约张量，随之求张量谱半径的算法也相继被提出.近来具有各种特殊特征的张量被广泛研究，如正张量、素张量、弱素张量、非负不可约张量、弱不可约、随机张良、本质正张量、弱正张量、严格非负张量等，对这些张量的研究主要集中在谱半径的代数、几何单性[6－7]，各种张量之间的关系，计算谱半径的算法.

1 预备知识

定义 张量是一个多维数组，一个实的m阶n维张量A是由nm个元构成:ai1…im∈R其中j=1，…，m，ij=1，…，n.一个m阶n维张量称为非负的(正的)，如果 ai1…im≥0(ai1…im＞0).

定义 若存在(λ，x)∈C×Cn是齐次方程Axm－1=λx[m－1]的解，则称 λ 为 A 的特征值，x 为 A的和 λ 对应的特征向量，这里 Axm－1和 x[m－1]是 n维向量.它的第i个元素是

这个定义在Qi[1]中有介绍，其中假设A是m阶n维对称张量，且m是偶数，在Lim[2]中限制x是实向量，λ是实数.

定义 张量 A的谱半径 ρ(A)=max{|λ|:λ是A的特征值}.

张量A的弱不可约和弱素定义如下:

定义 设A是m阶n维的非负张量.

2)若G(A)是可约矩阵，则称张量是A弱可约的，若A不是弱可约的，则称A是弱……