吴秋芳

小学里同学们就已经了解了有关事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，并能进行简单事件发生的可能性的计算；到初中以后，开始系统学习概率，初步了解频率与概率的关系，所以概率知识对同学们来说并不陌生。但一部分同学认为随机事件都是等可能事件，并且只学会了用列举法求随机事件的概率，机械地运用公式，即使有时能用随机事件发生的频率估算概率，但是对于频率和概率之间的关系却不能形成正确认识。

在自然界和人类社会中，严格意义上的确定性现象是非常有限的，相反，不确定现象（又称随机现象）却大量存在，而概率正是这种随机现象的数学描述。概率，又称机会率、机率或可能性，是数学概率论的基本概念，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生可能性的度量。表示一个事件可能性大小的数，就叫做该事件的概率。人们常说某人有百分之多少的把握通过这次考试、某件事发生可能性是多少，这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是说此事件发生的频率接近于1/n这个数值。频率，是指在相同的条件下进行了n次试验，在这n次试验中事件A发生的次数n（A）称为事件A发生的频数，比值n（A）/n称为事件A的频率，并记为fn（A），用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值就是频率。其实频率实验中事件发生的具体比率。概率是个抽象的数学概念。简单的说，概率是一般，频率是特殊。

要想更好地掌握这两个实用知识，必须知道它们之间的关系。

首先， 频率和概率是相互联系的。

某个试验如果只能进行一次，在这样的条件下得出的结果根本无随机性可言。事实上，频率稳定于概率这个结论，是针对在相同的条件下，大量的重复试验而言的。如果在试验的次数不多的前提下，用频率来估计概率是不太合适的. 例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，如果我们只抛了20次，结果发现正面朝上有5次，就认为正面朝上的概率大约为0.25，这样的结论我们肯定不会接受的，误差太大了。如果我们不断试验就会得到不同的试验值，也会越来越接近于这个事件的理论值0.5（见表格）。所以频率稳定于概率是对大量的实验而言的。

在大量的重复的试验中，事件发生的频率会稳定地在概率附近摆动，因此我们在生活中也常常采用这种方法，求得随机事件的频率，来估计随机事件发生的概率。

在多次重复试验中，一个事件发生的频率越大，说明在一次试验中该事件发生的可能性也就越大， 反之就小。 同样道理，事件的概率越大，在重复试验中，该事件的发生就比较频繁，因此事件的频率也较大。这就是说概率的现实意义是可以用频率来解释的，它能帮助人们做出合理的决策，但不可以替代。

其次，两者还有本质的区别。

频率在试验之前是不能确定的，它随着实验的次数变化而变化，即使两次重复试验的次数相同，关注事件出现的次数也可能不同，结果（ 频率） 也就可能不同.频率是一个随着试验次数的增加可能发生变化的统计量.而概率是完全决定于事件的本身，先于试验而客观存在的，它不会随着试验次数的增加而发生变化。 譬如，抛掷一枚正六面体骰子，出现同一数字向上的概率是1/6、，与做多少次试验无关。

有时某个事件发生的概率较大，按道理该事件发生的可能性也应该较大，但是在多次试验中该事件有可能就不发生；反之概率小，但在一次或两次试验中就有可能发生。 这正是事件的随机性与概率的确定性的区别特征。如我们买体育彩票就是这样，尽管中特等奖的概率很小，但是并不是不能中奖，或许买一张也会中大奖的。

事实告诉我们，概率是频率在理论上的一种期望值，即使你重复试验也无法得到准确值，它始终是个近似值。概率其实是频率的科学抽象，如抛一枚正六面体骰子，在试验次数很大时，同一数字朝上，都会在常数1/6 附近摆动；再如抛掷一枚硬币，不断重复试验，正面朝上和反面朝上的比值会接近1：1……这个结果是不以人的意志为转移的，但次数相当多时，试验值会更接近理论值，这对于我们研究事件是会有帮助的。

不过有人认为“试验次数越多，用频率估计概率就会越准确”，这样的说法其实不够严密。如果一个不透明口袋里有红白两个球，从中取出一个球后再放回，重复500次，或者1000次，按道理拿到白球的频率应该接近0.5，但事实上就有可能差距很大。所以说随机现象有其偶然性，也有其必然性，这就是表现在大量试验中随机事件出现频率的稳定性，一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动（尽管在许多场合这个固定的常数很容易被确定），这种现象被称为统计规律。

概率知识在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，所以学习了概率，我们可以体会概率模型的作用以及运用概率思考问题的特点，形成用随机观念观察和分析问题的意识，从而解决一些简单的实际问题。