何锋

我们想要描述一个物体的运动情况，就必须选择一个假定不动的物体作为参考，这个物体就称为参照物，也叫参考系。选择不同的参考系，对同一物体运动的描述可能会不同。彼此有相互作用的许多质点所构成的力学系统，称为质点组。每一个质点组都有一个质心，即质量的中心。由于质点组中有多个质点，每个质点的运动与受力情况各不相同，因此，在以地面为惯性参考系的研究各质点十分复杂，如果选用质心为参考系，就可以先研究质心作的运动，再讨论质点在质心系中的运动。那么，质点的运动就是质心的运动与质点在质心系中运动的合运动。这样，问题就变得十分简单了。下面以一个例题来了解质心系的妙用。 例题：两个相同的光滑小石块A和B在结冰的湖面上自由滑动。它们之间由一根轻质的长度为l的弹性绳相连，弹性绳具有拉长一点就会绷紧的特性。在t=0时刻，A静止在x=y=0，而B在x=l，y=0，并以速度v向y方向运动。确定A和B在下列时刻的位置和速度： （1）t=2l/v；（2）t=100l/v。 分析：此题运动过程比较复杂，如果以地面为参考系，过程比较复杂。我们可以把两个小石块看成质点组，选择质心為参考系。由于两个小球的质量相等，位置相对于质心对称，相对于质心的速度也对称，该质点组所受的合外力为0，质心做匀速直线运动，A、B两个小石块就可以看成以质心运动与围绕质心运动的合运动，这样问题解决起来就非常简单，过程清晰。 解：如图1，以A为原点建立坐标系，AB方向为x轴，那么A、B两石块质心的坐标为C（l/2，0），质心的速度为vc，则有：mv=2mvc，vc=v，方向沿y轴正方向，做匀速直线运动。以质心为参考系。 1.t0=0，如图2所示，A石块速度为-，B石块的速度为，A、B做匀速直线运动。 2.t1时刻，绳刚好被拉直时，由于绳长为l，绳子与x轴的夹角为45°，A、B两石块运动的路程为，此时时刻为t1=。绳子绷紧，因为绳子是弹性绳，发生弹性碰撞，A、B两石块沿绳方向上动量守恒，垂直于绳方向上两石块的速度不变，为v′1，v′2。沿绳方向上的速度为v1、v2。 则有v′1=v′2=vsin45°=v由动量守恒：mv1-mv2=0 由能量守恒：·2m（v）2=·2mv′12+·2mv12 得v1=v2=v，则由运动的合成，A、B速度的大小为v′==，方向沿x轴，A向右，B向左，绳再次松弛，A、B分别做匀速直线运动。 3.t2时刻，经过时间Δt=，即在时刻t2=t1+Δt，即Δt=时，绳再次绷紧，AB来到如图2位置。A向上匀速直线运动，B向下匀速直线运动，速度的大小为。以后重复绷紧、匀速直线这个过程。 4.如图3，到时刻t3=，t4=，直到t5=，AB两球相对于质心都回到初始位置，完成一个转动周期，以后再周期性地重复这个过程。 （1）在t=时刻，小石块在如图4位置，质心坐标为xc=，yc=vct=l，则A的坐标为xA=，yA=yc-=，B的坐标为xB=，yB=yc+=。A的速度为vA==v，方向与x的正方向成45°角，右斜向上。同理，vB=v，方向与x轴成45°如图所示左斜向上。 （2）在t=时刻，为12个周期加半个周期，相当于AB石块位于t2+时刻的位置，如图5所示，此时质心坐标为xc=，yc=vct=50l。则A石块的位置为xA=l，yA=yc=50l，速度为vA=vc+=v方向向上。石块B在xB=0，yB=yc=50l，速度为vB=0。 恰当地选择质心为参考系解决此题，方法简单思路清晰，非常容易解决。 参考文献： 范小辉.高中物理奥赛实用题典，2013.编辑 徐 婷