邱震尧

摘要：图像融合即通过一定的处理将不同模式下获取的相同场景的图像信息进行融合，以使所要描述的图像信息更准确、全面、可靠的一种方式。相关研究提出了一种新的图像融合方法，即基于压缩感知理论（Compressed Sensing，CS），可分别对多幅图像进行稀疏表示，同时利用观测矩阵进行测量，通过一种改进的小波变换融合算法对所测量的数据进行融合，最后通过基于压缩感知的图像信息重构算法实现融合后的测量数据恢复。该文从压缩感知基本理论及相关融合算法等方面探究了基于压缩感知的图像融合方法。

关键词： 压缩感知；图像融合；稀疏表示；小波变换；重构算法

中图分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）12-0196-03

Image Fusion Method Based on Compressed Sensing

QIU Zhen-yao

（College of Physical Science and Technology， Central China Normal University， Wuhan 430079， China）

Abstract：Image fusion is a way of fusing the images of the same scene acquired by different patterns through certain processing， in order to make the description more accurate， comprehensive and reliable. Related researches have presented a new approach to fuse images， which is based on compressed sensing （CS）. It first generates the sparse representation of multiple original images. Then it measures images data by a measurement matrix and fuses the measured data through an improved wavelet transform algorithm. Finally， it uses a CS-based image reconstruction algorithm to achieve the recovery of the data. This paper investigates the CS-based image fusion method through fundamental theory and fusion algorithm of compressed sensing.

Key words： compressed sensing； image fusion； sparse representation； wavelet transform； reconstruction algorithm

随着信息与通信技术的快速发展以及各类图像传感器的广泛使用，图像处理在各个领域的应用也逐渐变得普遍起来，同时对图像融合技术的关注与研究也愈加深入。所谓图像融合是指将不同方式采集到的关于某一个同目标的图像数据应用计算机进行处理，以最大限度地提取其中的有利信息，并综合成高质量的图像，提高图像信息的利用率。因此，图像融合也是一种信息融合[1]。进行图像融合需要分析处理大量的信息，应用传统的方法单纯地进行图像融合效率不高。因此，近年来出现了一种有效获取信息的新理论，即压缩感知（Compressed Sensing，CS）。此概念于2006年由Candès和Donoho正式提出，该理论表明，当信号具有稀疏性或可压缩性时，可采用低于奈奎斯特率的采样速率对其进行采样，实现将采样值中的原始信息准确而完整地还原与恢复。本文根据压缩感知基本理论，探讨其应用于图像融合的方法。

1 压缩感知概述

压缩感知是一种新的采样理论，又称压缩采样。其通过充分挖掘信号的稀疏特点，在采样率小于奈奎斯特率的状态下，以随机采样捕捉信号的离散样本，然后以非线性重建算法实现信号的完美重建[2]。

基于压缩感知理论进行信号处理，首先要对可压缩信号进行稀疏变换，然后通过低速压缩采样对信号进行测量得到压缩信号，再对压缩信号进行传输或存储。当需要使用该信号时，可通过重构算法将信号恢复到近似于原始信号的状态。

由以上流程可知，压缩感知理论的关键内容包括信号的稀疏表示、观测矩阵及重构算法。其中，信号的稀疏性是压缩感知理论成立的首要前提。设x为?N空间的有限维子向量，x的元素为x[1]， x[2]， ...， x[N]，若其中绝大多数元素为0，那么可认为x是严格稀疏的。即使信号不稀疏，它也可以在一定的变换域中变稀疏，此时，用T个基本波形的线性组合来建模x，有x = Ψa = sum（a[i]Ψ[i]），a[i]为字典Ψ中信号x的代表系数。其中，稀疏表示常用的方法为小波变换基、离散余弦变换基等。

观测矩阵的作用便是测量稀疏信号，从中获得测量值。观测矩阵的优劣决定着信号恢复效果的好坏，且观测矩阵需满足RIP准则，即保证观测矩阵不会把不同的两个稀疏信号映射到同一个集合里[3]。由于观测矩阵的最小奇异值和线性间的相关性较为密切，当最小奇异数逐渐增大时，矩阵的独立性便会更加明显。因此，在观测矩阵的RIP性质保持不变的情况下，可尽量提高其最小奇异值以达到增强矩阵独立性的目的，如利用QR分解可以改进原来的高斯随机观测矩阵，即ΦT = QR，其中Q为N × N的正交矩阵，R为N × M上三角矩阵。对矩阵R的处理应保留主对角线上的元素，而对其他元素进行置零处理，从而得到新的三角矩阵R1，通过对正交矩阵Q与R1再改进得到新的具有更佳RIP性质的高斯随机观测矩阵Φt。

重构算法就是依据所获得的信号观测值还原出原始信号估计值，这是压缩感知理论中关键的一步，常用的重构算法有匹配追踪法、正交匹配追踪法、梯度投影法等，重构算法的性能很大程度上决定了还原信号的质量。

2 压缩感知与图像融合

2.1 压缩感知理论基本内容

压缩感知理论最基本的内容是信号的稀疏表示、信号的测量以及信号的重构，这三者是构成压缩感知理论基本框架的关键部分。

设一个一维有限实值离散信号为x，可将其看作是一个?N空间N × 1维的列向量，其元素为x[n]，其中n = 1， 2， ...， N。若信号为K稀疏，则其算式可以表示为：

x = Ψa （1）

其中，Ψ是N × N矩阵，a为系数的N × 1维的列向量，当x在某个基Ψ上只有K个远远大于零的系数，或远远小于N个非零系数时，则称信号x的稀疏基为Ψ。

根据压缩理论，如果在某正交基Ψ上的一个长度为N的信号x仅有少数的非零系数，若将这些系数投映到与稀疏基Ψ无关的另一个测量基Φ上，将得到M × 1维的测量信号y1，以完成对原始信号x的压缩采样，其表达式为：

y1 = Φx = ΦΨa （2）

其中，M × N的测量矩阵为Φ，ΦΨ称为投影矩阵，是M × N的矩阵，y1代表稀疏矩阵a关于投影矩阵ΦΨ的测量值。当且仅当正交基Ψ与测量矩阵Φ不相关的情况下（投影矩阵ΦΨ符合RIP条件），信号a才可利用这些所获得的测量值通过公式得到完整恢复。图像处理中应用压缩感知理论进行压缩与重构的基本流程框图如图1所示。

压缩感知理论的优势在于无需像传统采样方法一样获取庞大的投影测量数据，增大了信号高分辨率采集的可能性。除了基于像素点的压缩感知图像处理之外，还可通过对图像分块进行处理。分块压缩感知需要应用于解决大尺寸图像重构的运算量大、耗时长的问题，通过分块处理大图像，先分别对每块图像进行观测与重构，可以减少运算量，但分块压缩感知的不足就是无法实现图像的质量的提升[4]。压缩感知理论可实际应用于多个领域，如信号处理、统计分析、医学成像、雷达遥测等。

2.2 基于压缩感知的图像融合

与传统图像融合算法相比较，基于压缩感知理论的图像融合方法具有一定的优越性。在图像非整体采样下，应用压缩感知技术也能实现多图像融合，并且经过提高测量值还可以使融合图像的精准度获得比较理想的提高，运用这个算法不但可以为计算机节省存储空间，还可以简化运算的复杂性[5]。

2.2.1 图像融合方法

压缩感知图像融合的基本方法是：首先以小波变换的方式分别对两幅同源图像进行处理得到各自的系数矩阵，并对其进行稀疏处理。获得稀疏矩阵之后，在在融合之前要先确定所采用的融合规则（本文采用系数绝对值最大法）进行融合处理，并对融合系数进行随机压缩采样，最后求解得到原始信号近似值并进行逆变换得到经过融合后的图像。

2.2.2 稀疏处理

对源图像的系数进行稀疏处理，首先要对源图像进行小波变换处理。目前，小波变换方式最常用的有复数小波、正交小波和Haar小波等方法。通过小波变换得到相应的小波系数，再对小波系数进行稀疏处理，将接近零的小系数置为零，以得到近似稀疏的小波系数矩阵。

2.2.2 测量矩阵Φ

要使重构的信号具有较高的精确度，必须先保证投影矩阵满足有限等距性（RIP），而当观测矩阵和稀疏基不相干时，投影矩阵才会在很大程度上符合RIP的特性。在对源图像做稀疏变换时，所采用的稀疏基就是小波基。要使图像能以最小的测量值实现重构，需要保证稀疏基和测量矩阵保持不相关。因为随机矩阵（例如高斯随机矩阵）拥有与其他固定正交基不相干的特性，即与任何稀疏基都不相干，可将其确定为测量矩阵。

2.2.3 融合算法

基于压缩感知理论的融合算法如表1所示。

1. 对图像A和图像B进行小波变换处理，得到各自的系数矩阵；

2. 对系数矩阵进行稀疏处理，再利用绝对值最大法进行融合，得到融合后的小波系数；

3. 选择测量矩阵Φ，对融合后的系数进行测量，得到测量值y1；

4. 求解线性规划最优化问题，得到原始信号近似值；

5. 对系数进行逆小波变换，得到融合图像F。＼&]

本文以图2中分别左右聚焦的两幅图像（a）和（b）作为研究对象来验证表1中的算法。利用传统的系数绝对值较大法对小波变换后的图像进行融合，得到 （c）中所示的融合图像，通过表1中的算法进行图像融合之后得到（d）所示的图像。

经过对融合后图像峰信噪比（PSNR）的测算，传统的直接使用系数绝对值最大法进行图像融合的方法所得图像，其PSNR为26.32dB，而本文运用的基于压缩感知的图像融合算法，其PSNR为30.15dB，融合图像的质量比传统方法高约4dB。就此而言，本文中的图像融合算法融合效果要好于传统的系数绝对值最大法的融合效果。

3 结论

近年来，图像融合技术广泛已应用于军事侦查、遥感测绘、医学影像等领域，基于压缩感知的图像融合方法更是这些领域的专家研究的热门话题。本文以压缩感知作为理论依据，探讨了其应用于图像融合的实现方法，通过实验验证了其可行性。与普通的图像融合方法相比，本文中基于压缩感知的算法具有运算量较小、融合图像质量较高等优势，充分体现了压缩感知理论在图像融合领域的广阔应用前景。

参考文献：

[1] 阮涛， 那彦， 王澍. 基于压缩感知的遥感图像融合方法[J]. 电子科技， 2012（4）： 43-46.

[2] 王小刚， 田小平， 杨莎莎. 基于压缩感知的图像融合算法研究[J]. 计算机测量与控制， 2013（3）： 788-790.

[3] 邢雅琼， 王晓丹， 毕等. 基于非下采样轮廓波变换和压缩感知的图像融合方法[J]. 控制与决策， 2014（4）： 585-592.

[4] 徐静. 压缩感知图像融合[J]. 现代电子技术， 2012（18）： 119-121.

[5] 何国栋， 石建平， 冯友宏. 基于压缩感知的红外与可见光图像融合算法[J]. 激光与红外， 2014（15）： 582-584.

[6] 王辛悦， 周德全. 基于压缩感知理论的图像压缩技术研究[J]. 微处理机， 2013（4）： 46-48.

[7] 李修寒， 朱松盛. 基于压缩感知理论的医学图像重构算法研究现状[J]. 生物医学工程学进展， 2014（04）： 216-242.

[8] 解成俊， 张铁山. 基于压缩感知理论的图像重构算法研究[J]. 计算机应用与软件， 2012（4）： 49-52.