张晓霞

摘 要：阿拉伯数字的发明，使我们记录和计算更加方便，然而在表现一些数的特征方面，点子图更加直观。点子图让数学带着其精练、思辨、冷静的迷人魅力的历史中走来，在这浓浓的数学味道里，学生开始了对数的发现之旅。如人教版数学教材一年级上册 “1～5的認识和加减法”中，对1～5各数的认识是按照“主题图——点子图——抽象出数”的顺序进行编排的。这种编排体现了小学生“直观感知——建立表象——抽象概括”的认知规律，而点子图在学生思维由直观提升到抽象的过程中起着重要的中介作用。

关键词：数学活动经验；抽象概括；点子图；认知规律；

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）06-301-01

阿拉伯数字的发明，使我们记录和计算更加方便，然而在表现一些数的特征方面，点子图更加直观；2000多年前，希腊数学家利用点阵图形研究数。短短两句话，数学带着其精练、思辨、冷静的迷人魅力从厚重、光辉的历史中走来，在这浓浓的数学味道里，学生开始了对数的发现之旅。在实际教学中教材是这样处理的：

一、利用点子图感知数的顺序

【案例1】人教版数学教材一年级上册 “1～5的认识和加减法”

1.摆圆片（逐次感知1～5的顺序）。

学生先摆1个圆片，再摆1个是几？这个2是怎么得来的？再摆1个得到几个？依次感知3、4、5的来源。

2.整体感知。

（1）出示点子图，你来给它们5个排排队。

（2）摆好后提问：“5的前面一个数是几？”，“3的前面一个数和后面一个数各是几？”同桌间互问互答。

对于刚入学的小学生来说，需要把这些抽象的数学概念变成学生看得见的“数学事实——点子图”，采用直观、形象、生动的教学方法深入浅出地教学，就能卓有成效地帮助学生建立起这些抽象的概念。同时在这一系列的活动中，创新意识、探索能力和情感得到了和谐发展。

二、利用点子图感知数与算式的联系

到了二年小朋友开始学习乘法，在“有多少个点子”这一课就是充分利用了点子图来说明同样的乘法算式可以有两种不同的方法排列物体的个数，让数学概念的学习从虚幻的想象变得看得见，摸得着。

【案例2】

师：仔细看图，说说你看懂了什么，和大家交流一下。

生1：淘气第一次摆的点子是每行2个，共3行，2+2+2=6。笑笑说用乘法

算式是2×3=6或3×2=6。

生2：淘气第二次摆的点子图上是每列4个，共5列，4+4+4+4+4=20。淘气说用乘法算式是4×5=20或5×4=20。

师：你觉得淘气第一次摆的点子图还可以怎样说？相同加数是几？有几个相同的加数？

生：每列3个，有2列，3+3=6，相同加数是3，有2个3；乘法算式是3×2=6或2×3=6。

师：现在老师想同学们在点子图上表示出乘法算式4×7。

师：你是怎么摆的？谁愿意说给大家听听？

生1：我露出了7行，4列。就是每行有4个，7行就是7个4，所以4×7。

生2：我露出了4行，7列。就是每行有7个，4行就是4个7，也是4×7。

在小学乘法教学中注重学生的生活经验，密切联系实际生活，强调在解决现实问题的过程中，让学生体会经历抽象数学模型并进行解释和应用的过程，从中获得对乘法意义的感悟，体会乘法知识的发生、发展过程。教材给出了最为普通的长方形点子图，通过对其规律的探究，利用点子图建立起数与算式之间的联系。数学知识源于生活，并最终服务于生活，尤其是小学数学，在生活中都能找到其原型。

三、利用点阵感知数与形的联系

到了高段开始学习利用点阵来学习数与形之间的联系。

【案例3】《点阵中的规律》

（1）一探

“图中有几个点阵，每个点阵各有几个点？”“怎么数得这样快？有窍门吗？”

生1：“我是用算式算出来的。”

第1个 1×1=1

第2个 2×2=4

第3个 3×3=9

第4个 4×4=16

（一个“算”字，使学生的思维顺利实现了由形到数的第一次转换。）

师：“这种数法真是又快又方便！照这样下去，第五个点阵有多少个点呢？第六个呢？第七个？八个？……第100个呢？”

师：那第n个点阵呢？你们能画出第五个点阵吗？

（这个画点阵的过程虽然简单，但体现了由数到形的转换。培养了学生主动进行数形转换的意识。）

（2）二探

“斜着看又可以得到什么新的算式呢？

第1个： 1=1

第2个： 1+2+1=4

第3个： 1+2+3+2+1=9

第4个： 1+2+3+4+3+2+1=16

数形结合是数学解题中常用的思想方法。“点阵中的规律”这一课特别适宜于学生充分感受“数形结合”的思想魅力。在正方形点阵的研究中，教材从三种不同的角度引导学生观察点阵，列出不同的算式，发现不同的规律，从得出像1、4、9、16……这样一组数所具备的三种不同特点。这组数既可以看作为一组连续的完全平方数，也可以看作是几个连续奇数相加，还可以看作是从1连续加到几，再加回到1。这是一个从形到数的过程。教材在学生概括规律，归纳推理出下一个点阵的点数后，又让学生画出这个点阵图，这是一个从数到形的过程。充分体现了“数形结合，数形转化”的思想方法。

参考文献：

[1] 新课程实施过程中培训问题研究课题组编.《新课程理念与创新》.北京师范大出版社.2001.

[2] 周玉仁主编.《小学数学教学论》.中国人民大学出版社.1999.

[3] 张奠宙.《数学教育研究导引》.江苏教育出版社.1998.