四川省泸州市古蔺县古蔺中学校 杨必敏

高中数学新课程实施以来，数学思想方法逐步引起重视。其中分类讨论思想是中学生必须要掌握的一种思想方法。所谓分类讨论，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解，最后整合得答案。对于刚刚进入高中的学生来说，整个数学思想方法都还停留在一个浅层次。分类讨论的思想虽然在初中学习过一些，可对绝大多数同学来说，“为什么分类？怎样分类？”都是一个朦胧的状态。因此从高一开始，就对学生灌输这一思想方法尤为重要。下面，我就从高一数学（必修1）的几个常见问题来谈谈如何解决我们的分类讨论问题。

要解决分类讨论的问题就是要让学生弄清引发分类的原因（为什么分类），还要掌握科学分类的原则（怎样分类），即不重复，不遗漏。下面我举例说明。

例1：已知集合A由三个元素组成，若求实数a的值。

分析：本题是高一学生进入高中以来遇到的第一道分类讨论问题。学生在解决问题时主要是要搞清楚三个元素中到底哪个为1，由集合的定义，我们知道，三个元素都可以为1，于是分类讨论的思想就出来了。但是我们也知道，集合元素的互异性，所以我们最后还要进行检验。这也就是说我们分类讨论要不重复，不遗漏。

解：若a+2=1,则a=-1,此时这与元素的互异性相矛盾，故a=-1应舍去。

若(a+1)2=1，则a=0或a=-2. 当a=0时，A={2,1,−3},满足题意。

当a=-2时，A={0,1,1}，这与元素的互异性相矛盾，故a=-2应舍去。

当a2+3a+3=1时，则a=-1或a=-2。由（1）、（2）知两个值都应舍去。综上：a=0。

反思：我们分析之所以分类，是因为哪个元素为1不确定。这是很典型的由运算引起的分类讨论，这在我们含参数的运算中很常见。如初中的含参数的一元二次方程的解，就要根据△的正负来进行分类；再如，分式方程的求解等。解决这类问题的关键是对各种计算熟悉。当然尤其是这类问题的分类，是在运算过程中发现的，

所以我们是要大胆的下笔。

例2：已知集合

, 若B ⊆A，求实数m的取值范围。

分析：这是一个很典型的集合问题，也是学生在做题过程中最容易出错的问题，出错的原因就是子集的概念理解得不是很清楚，忽略掉空集是任何集合的子集这一重要信息，从而导致没有进行分类。当然这道题的分类标准就是分B集合为空集或者不为空集。

解：因为B⊆A，所以B=ϕ 或者B≠ϕ。

当B=ϕ时，有m+1≥2m−1,得m≤2。

当B≠ϕ时，有，得：

∴综上所述，当B⊆A时，有m≤4

反思：我们解决一下“为什么分类”的问题，我们知道空集是任何集合的子集，可是B集合是否为空集我们不确定。当然这个问题得到解决，那么“怎么分类”也就自然而然的呈现了出来，这是很典型的由数学的概念引发的讨论问题。解决这类问题主要是要将我们的概念熟悉，避免在解决问题时没有讨论到，而导致解题错误。

例3：已知解不等式

分析：分段函数本身就是一种分类讨论，需对函数的每一段情况分别进行研究。要解决此类题，我们就不许知道f(x+2)应该为那一个值，这就解决了我们为什么分类，当然分类标准也就出来了。

解：当x+2≥0时，原不等式可化为x+x+2≤5.解是:

当x+2≺0时，原不等式可化为:x−(x +2)≺5，解得x≺−2。

反思：这是一个典型的函数分类问题，而这类问题也主要从我们要的结果入手，就如本题说函数代那个值。也就是说我们如果不分，那就没办法做下去，如果分，那就是谁档我们的路就分谁。

例4：求在区间[0,2]上的最大值和最小值。

分析：这是一道二次函数在闭区间上的值域问题。最开始时很多同学是不知道下笔的。那么我们就要引导学生：1、函数在区间上单调吗？这个问题丢给学生解决，他们就会发现可能单调递增，单调递减，也有可能不单调。那么第一个分类标准就出来了。2、我们知道单调函数的最值好求，那如果在这个区间上不单调，最值怎么办，所以大的分类标准下，小的分类标准就出来了。只要学生理好程序，那么解决问题就容易了。

解：对称轴为：x=a。

（1）当a＜0时，则f(x)在上单调递增，

（2）当0≤a≤2时，则f(x)在[0,2]上单调递减，在[a,2]上单调递增，

反思：这是由函数性质，图形位置，运算引发的分类的综合问题。解决这类问题，我们的关键是对数学的基础知识熟悉，如此题要知道求函数的最值需要判断函数的单调性，由此可以确定大的分类标准。由上面几道例题，我们可以确定分类问题解题程序可大致分为以下几个步骤：明确讨论的对象，确定对象的全体；确定分类标准，正确分类，不重不漏；逐步进行讨论，获得结段性结记；归纳总结，综合结记。

分类讨论的问题在我们的数学思想方法中起着举足重轻的作用：一是现在的高考中大篇幅的题目涉及到分类讨论思想；二是分类讨论思想能够培养思维的严谨性。总之注重分类讨论思想在平时教学中的渗透，对提高学生思维的严谨性，培养学生对数学的学习兴趣，增强学生的创新意识具有重要的现实意义。那么对于刚进入高一的学生来说，我们更不能有畏难情绪，从头抓起，让学生不断体会“为什么分类，怎样分类”，相信对我们学生的整个数学学习会起着关键作用。