高光发

(1.安徽理工大学煤矿安全高效开采省部共建教育部重点实验室，安徽淮南 232001;2.中国科学技术大学近代力学系，合肥 230027;3.新加坡国立大学冲击工程实验室，新加坡 120425)

基于长杆弹高速垂直侵彻半无限靶板的流体动力学模型(下文简称HTP 模型［1］)，Alekseevskii［2］与Tate［3］分别独立的提出一种同时考虑弹靶流变强度的改进的长杆弹侵彻/侵蚀模型，称之为Alekseevskii-Tate 模型(下文简称为AT 模型)，该模型同时也考虑到侵彻主要过程中侵彻行为的“不稳定”特征。AT 模型自提出以来，一直是长杆弹侵彻研究中最重要应用最广泛的理论模型。由于考虑到实验中观察到的侵彻过程中弹体尾部速度的“不稳定”减速现象，AT 模型与实际情况更吻合，其计算结果理论上应该更准确。

然而，正因为其考虑的这种不稳定现象，因而侵彻速度u和弹体尾部速度v 不再是常值了，同时弹体尾部速度u 与弹体剩余长度l 两个变量相互耦合，其解耦算法在一般情况下比较复杂，如此以来，AT 模型很难像HTP 模型、AR 模型［6］甚至改进的AR 模型一样容易地计算出其精确的解析解。为了进一步提高AT 模型的实用性，更大程度上推导其模型中参数的精确解是很有必要的。Walters 等［7-8］也就AT 模型的一般解进行了深入的推导分析，其结果与本节的推导结果类似，但其推导过程更为复杂，结果形式也较本推导复杂，同时，由于其符号定义与AT 模型原文定义的不甚一致，因此可读性稍差。

本研究在分析AT 模型的基础上，对其推导过程中存在不足之处进行修改完善。在此基础上，推导出AT 模型中相关参数的一般解和一下特殊情况下的精确解析解，并在此基础上研究弹靶流变强度比、弹靶材料密度比、弹体瞬时速度等因素与弹体瞬时侵彻深度、弹体最大侵彻深度等因素之间的内在联系及其影响规律。

1 AT 模型原文推导过程中的一点问题的修正

以Tate 模型为例，在原文［3］中，根据传统HTP 模型基础上考虑弹靶材料的强度，得到

根据原文“Capitals are used to denote the initial values of variables”［3］的意思，并结合原文推导过程，笔者认为应该写为下列形式更为合适

式中:V、U 分别表示弹体的入射速度和初始侵彻速度;u、v 分别表示弹体的瞬时速度和瞬时侵彻速度; ρp和ρt分别表示长杆弹和靶板材料的密度;Rp和Rt分别表示弹体和靶板的流变强度。

考虑到弹靶材料密度比为1 时的情况，侵彻速度与弹体的入射速度的关系式(2)可写为

考虑材料密度比为1 时的情况，可有

式中l 和L 分别表示弹体的瞬时长度和初始长度。

2 几种特殊情况下AT 模型中相关参数的解

在推导AT 模型中相关参数的一般解之前，先讨论几种特殊情况下相应的解，在这几类特殊情况下，AT 模型能够做一定的简化，因此，求出其解析解变得较为简单。

1)ρp=ρt=ρ0且Rp=Rt=σ

此时，由式(3)、式(4)可有

可定义

分别为弹体的相对剩余长度，归一化瞬时侵彻深度，弹体的相对入射动能，弹体尾部的相对瞬时速度。

式(5)可写为

假设弹靶的流变强度皆为1.10 GPa［3］，弹靶的密度为7.80 g/cm3，弹体的入射速度为3 000 m/s，此时弹体的归一化瞬时侵彻深度与弹体尾部的相对瞬时速度之间的关系如图1 所示。

图1 侵彻过程中弹体相对速度与归一化侵彻深度之间的关系(I)

从图1 可以看出，弹体在侵彻主要过程中尾部的速度并不稳定，而是呈递减的趋势，而且该递减速度逐渐加速，直到弹体的动能耗尽，弹体的侵彻行为停止。

当v=0 时，根据式(5)可知弹体侵彻速度u 也为0，亦即是说弹体侵彻过程终止，此时弹体的侵彻深度即为理论上弹体的最终侵彻深度

从式(8)可知，弹体的最终侵彻深度与弹体的初始长度L、初始动能ρ0V2呈正比，与弹体和靶板的流变强度呈反比σ。

假设弹靶的流变强度皆为1.10 GPa，弹靶的密度为7.80 g/cm3，则根据式(8)可以得到归一化最终侵彻深度与弹体入射速度之间的关系

从式(9)可以看出，随着弹体入射速度的增加，其归一化侵彻深度逐渐增加直到到达某一值(接近HTP 理论解)时为止;同时也可以看出，当入射速度较小时(入射速度低于150 m/s 左右)，侵彻深度随入射速度的增加缓慢增加，而当入射速度大于此值时，弹体的归一化侵彻深度与入射速度近似呈线性正比关系。

2)ρp≠ρt但Rp=Rt=σ

此时，可有

利用式(6)的定义，可简化为

或

同上假设弹靶的流变强度皆为1.10 GPa，弹体材料的密度为7.80 g/cm3，弹体的入射速度为3 000 m/s，可以得到不同弹靶密度比α 时，弹体的归一化瞬时侵彻深度与弹体尾部的相对瞬时速度之间的关系，如图2 所示。

图2 不同弹靶密度比时侵彻过程中弹体相对速度与归一化侵彻深度之间的关系

结合图1，从图2 中可以看出，首先，随着弹靶材料密度比的增加，弹体的最大侵彻深度逐渐增大;其次，虽然在主要侵彻过程中，弹体尾部速度都是逐渐减小，但随着弹靶材料密度比的增加，这种减小的趋势逐渐减缓。

当v=0 时，根据式(10)可知弹体侵彻速度u 也为0，亦即是说弹体侵彻过程终止，此时弹体的侵彻深度即为理论上弹体的最终侵彻深度

或

同上假设弹靶的流变强度皆为1.10 GPa，弹体材料的密度为7.80 g/cm3，可以得到不同弹靶密度比α 时，弹体的归一化最终侵彻深度P/L 与弹体入射速度V 之间的关系。从式中可以看出，虽然不同弹靶材料密度比时，弹体的最大归一化侵彻深度与弹体入射速度之间的关系相似，但是在速度足够大时(本情况中速度大于1 500 m/s 左右)，决定弹体的最大归一化侵彻深度的还是弹靶材料密度比。

3)ρp=ρt=ρ0但Rp≠Rt

此时，式(3)可简化为

从式(13)可以看出，当弹体的流变强度Rp大于靶板的流变强度 Rt时，此时当弹体尾部速度减小到 v =时u=v，即侵彻过程中弹体呈刚体性质，也就是说弹体从始至终不存在变形现象，此时弹体的侵彻深度还包括刚体侵彻的这一阶段，此类侵彻行为不属于纯流体动力学的研究范围，在此不做讨论。

当Rt-Rp＞0 时，由式(13)可知，弹体尾部速度减小到时，弹体侵彻行为停止，此时即使弹体速度大于0，但弹体的销蚀速度等于弹体的尾部速度。同时，该式也说明，只有弹体入射速度大于该值时，弹体才能对靶板进行有效的侵彻。

此时，可有

当u=0 时，即是说弹体侵彻过程终止，此时弹体的侵彻深度即为理论上弹体的最终侵彻深度

式(14)与式(15)的即弹靶材料密度相同时弹体的瞬时侵彻深度和最大侵彻深度的一般解。特别地，当Rt/Rp=2n +1(n 为任意正整数，包括0)时，有

式(16)和式(17)通过简单的积分求解能够到达具体的解析解。

同上假设弹靶的流变强度皆为1.10 GPa，弹靶材料的密度为7. 80 g/cm3，弹体的入射速度为3 000 m/s，根据式(16)，可以得到不同靶弹流变强度比时，弹体尾部的相对速度与归一化瞬时侵彻深度一直的关系，如图3 所示。

图3 不同靶弹流变强度比时侵彻过程中弹体相对速度与归一化侵彻深度之间的关系

从图3 可以看出，随着靶板和弹体流变强度比逐渐增大，在侵彻“准稳定”过程中的前期弹体尾部速度变化不明显，但在后期，其速度的减少趋势逐渐增大，而且，其最终侵彻深度也逐渐减小。

同上假设弹靶的流变强度皆为1.10 GPa，弹靶材料的密度为7.80 g/cm3，根据式(17)，可以得到不同靶弹流变强度比时，弹体的入射速度与归一化最大侵彻深度之间的关系。结果表明，当靶板与弹体流变强度比大于1 时，弹体的入射速度必须大于一定值才能对靶板进行有效的侵彻，这种速度可以称之为最小临界速度(此种动能也可称之为最小临界动能［7-8］)，随着此比值逐渐增加，其最小临界速度也随之增大，当靶弹流变强度为3 和5 时，弹体的最小临界速度分布为751 m/s 和1 062 m/s;其次，随着靶弹流变强度比的增加，相同入射速度下弹体的最大归一化侵彻深度逐渐降低; 第三，靶弹流变强度比值的增加，虽然相同入射速度下其最大归一化侵彻深度会减小，但同时提高其入射速度后，极限的归一化侵彻深度基本相似，此时提高入射速度效果并不是很明显，提高最大临界侵彻深度理论上最有效的手段是提高弹靶材料密度比。

3 AT 模型中相关参数的一般解的分析

对AT 模型中的一般情况下的解进行推导分析。在此暂不考虑弹靶密度相等时的情况，另外，同上分析，当弹体的流变强度大于靶板的流变强度时，弹体的侵彻过程中存在刚体侵彻过程，此时AT 模型的适用性值得探讨，暂不考虑，只考虑弹体流变强度小于靶板流变强度时的情况(两者相等时的情况上文已做讨论，并得到具体的解析解;同时，需要注意的是，弹体流变强度小于靶板的流变强度并不代表弹体材料的动态屈服强度小于靶板材料的动态屈服强度)。

根据上文的分析有

式中相关符号的意义同前文。

可有

即

式中

将式(18)代入式(20)，可以得到

根据上述参数代表的物理意义，可以定义以下的无量纲参数

则有

式中

为一个常量，至于弹体入射速度、靶弹材料密度比、弹靶的流变强度相关。

当弹体尾部速度减小到

4 结论

1)Tate 等提出的AT 模型的推导过程中没有考虑到弹靶材料密度比为1，即弹靶材料密度相等时的情况(此时推导过程中存在表达式分母为0 的情况)，然而，原文中最后的实例分析却使用弹靶材料密度相等时的情况讨论理论分析结果，从而存在逻辑的不足之处，本文对此进行了分析、修改与完善。

2)对AT 模型的理论方程进行了推导，得到其一般情况下核心参数如弹体瞬时侵彻深度、弹体最大侵彻深度等解析解的表达式。

3)针对弹靶材料密度比相等、弹靶流变强度相等、靶弹流变强度比为奇数等特殊情况下相关参数的精确解析解进行了推导，并利用实例对弹靶密度比、弹靶流变强度比等因素对侵彻行为的影响规律进行了分析和讨论。

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［3］Tate A.A theory for the deceleration of long rods after impact［J］. Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1967(15):387-399.

［4］Allen W A，Rogers J W.Penetration of a rod into a semi-infinite target［J］.Journal of the Franklin Institute，1961，272(4):275-284.

［5］Walters W P，Segletes S B.An exact solution of the long rod penetration equations［J］. International Journal of Impact Engineering，1991，11(2):225-231.

［6］Segletes S B，Walters W P.Extensions to the exact solution of the long-rod penetration/erosion equations［J］. International Journal of Impact Engineering，2003(28):363-376.

［7］高光发，李永池，沈玲燕，等.入射速度对长杆弹垂直侵彻行为的影响规律［J］.高压物理学报，2012，26(4):449-454.

［8］高光发，李永池，段士伟，等.侵彻准稳定过程中冲击速度与侵彻速度的关系［J］.兵器材料科学与工程，2011，34(1):13-16.