陈生昌，陈国新，王汉闯

(浙江大学地球科学系,浙江杭州310027)

稀疏性约束的地球物理数据高效采集方法初步研究

陈生昌，陈国新，王汉闯

(浙江大学地球科学系,浙江杭州310027)

信号变换系数的稀疏分布特性已广泛应用于信号压缩、编码和数据处理，作为一种先验知识也为信号的采样方法研究奠定了基础。地球物理数据是一种空间/空间-时间变化的信号，因此将地球物理数据的稀疏性应用于地球物理数据的高效采集方法研究。在地球物理数据稀疏性的数学物理基础研究、针对不同数据变化特征的稀疏变换方法研究、随机均匀分布的随机采样方法研究和数据重构方法研究的基础上,结合当前数据采集中的Nyquist采样理论、地球物理数据的稀疏性特征和当前地球物理数据采集中常见的密集规则测网，提出了针对被动源地球物理数据和主动源地球物理数据的高效采集方法，通过数值试验验证了方法的正确性和有效性。

地球物理数据;高效采集;稀疏性;随机采样;数据重构

数据采集是勘探地球物理领域的基础工作[1]，也是采集、处理、解释三大工作步骤中花钱最多的一项。随着地球物理勘探目标的日趋复杂和勘探要求的日趋精细化，对地球物理数据采集的要求也越来越高，不仅要得到高精度的地球物理数据，而且要使用规则、密集(密集的测线、检波点、炮点)和/或宽方位、高覆盖观测系统，致使地球物理数据采集的成本越来越高，采集的时间也越来越长。因此，在满足数据采集要求(规则、密集)的前提下，如何经济高效地进行数据采集是当前勘探地球物理方法技术应用中的一个现实问题。

当前地球物理数据采集方法的理论基础是Fourier变换和Nyquist采样定理，若要使采集到的数据不失真，采样速率必须是数据频带宽度的两倍及以上。根据Nyquist采样定理，不同的地球物理方法技术适用不同的数据采集方案。对于基于位场理论的重磁电勘探，数据采集观测系统一般为规则密集的空间测网，根据Nyquist采样定理确定测网的空间采样间隔(线距、点距)。对于基于波场理论的地震勘探，数据采集观测系统不仅要根据Nyquist采样定理确定规则空间测网的采样间隔(包括检波器测网的线距、点距和炮点测网的线距、点距)，还要根据Nyquist采样定理确定地震记录的时间采样间隔。一般而言，地球物理数据采集的空间测网至少应有5条测线通过主要异常或所要研究的地质体，点距应满足反映异常特征的要求及处理解释推断的需要(尽可能密一些)，或点距应保证至少有3个测点反映有意义的最小异常。上述地球物理数据采集方法尽管已经在勘探地球物理领域中取得了巨大成功，但由于Nyquist采样定理基于Fourier变换和数据的频谱成分稠密地分布在数据频带内这一假设条件，因此要求测线、测点分布均匀而且密集，致使数据采集成本高、效率低，还有可能在数据采集的空间上遇到困难(受自然或人文环境的影响而难以布置规则测网)。

基于信号稀疏性的信号稀疏重构也称为压缩感知(或压缩采样),是一种建立在矩阵分析、统计概率、拓扑几何、优化、运筹学和泛函分析等基础学科上的全新信息获取与处理理论体系[2-5]，是在信号具有稀疏性或可压缩性(近似稀疏性)的先验假设条件下，直接采集信号中少数“精挑细选”的数据(这些数据是包含了信号全部信息的“压缩数据”)，也就是将经典的基于Nyquist采样理论的信号采样(Signal Sampling)转变为对信号中的信息采样(Information Sampling)，通过解一个稀疏性约束的优化问题，从采集的压缩数据中恢复出原始信号。在压缩感知理论中，对信号的变换不再局限于Fourier变换，信号的采样间隔不再取决于信号的带宽，而是取决于信号的稀疏性以及信息在信号中的结构与内容。因此，信号稀疏重构为信号的高效、大采样间距采样方案研究与设计奠定了理论基础。

美国Rice大学的Baraniuk教授于2011年在Science杂志第331卷上介绍了压缩感知理论及其应用前景[6]。近年来，压缩感知理论在地震勘探的波场高效模拟[7-9]、地震数据表示[10]、地震数据重建[11-14]和地球物理的非线性反演[15-17]等方面得到了一定的应用，并取得了一定的效果。Lin等[18]提出将压缩感知理论应用于多震源地震数据采集的思路，并进行了地震一次波场的数值模拟试验。清华大学的马坚伟教授在2011年中国地球物理年会上提出的基于压缩感知理论的“稀疏促进地震勘探”思想[19]，则为信号稀疏重构理论在地震勘探中的应用提供了借鉴。

本文通过对Nyquist采样原理的分析研究，在地球物理数据的变换稀疏性特征和稀疏重构理论的基础上，结合地球物理数据采集的具体要求，提出了基于稀疏性约束的地球物理数据高效采集方法，并用理论数据和实际数据进行了验证。

1 带限信号的Nyquist采样及其局限

频带有限信号x(t)的Fourier变换对为：

(1)

其中,-f0为X(f)的频带下限，f0为X(f)的频带上限,X(f)的频带宽度为L=2f0。根据Fourier变换对(1)，信号x(t)的Nyquist采样原理可表述为：由信号x(t)的离散采样值x(nΔ)(其中Δ≤1/L)，可以重构出X(f)和信号x(t)，即：

(2)

(3)

通过对Fourier变换和频带有限信号Nyquist采样定理进行研究分析,我们得到以下几点基本认识：①在对信号进行采样前，需要得到有关信号的先验知识，Nyquist采样方法所用到的有关信号先验知识是由信号的Fourier变换得到的，即假定信号的频带有限。②应根据有关信号的先验知识来确定采样方案，Nyquist采样所要求的最大采样间隔与均匀规则采样方案是由信号的频带有限和频谱成分稠密地分布在整个频带上(先验知识)决定的。③采集到的数据必须是有关信号的真实反映，即由采集数据能重构信号。不同的采样方法对应不同的重构方法，Nyquist采样的数据重构方法是Sinc函数线性插值。这些认识是研究、发展新型信号采样方法理论的基础。

基于频谱成分在频带上的分布，我们不难分析Nyquist采样的局限：如果信号的频谱成分稠密地分布在整个频带上，则频带有限信号的Nyquist采样是高效的;反之，如果信号的频谱成分稀疏地分布在整个频带上，则频带有限信号的Nyquist采样就不是高效的。图1为[0,250Hz]频带内不规则稀疏分布的10个正弦频谱成分，其中最低频率为5Hz，对应的时间域信号如图2所示。根据带限信号的Nyquist采样定理，若要由信号离散采样准确地重构出信号的频谱和波形，则要求离散采样间隔满足Δ≤2ms，最低频率谐波成分对应的周期为0.2s。以2ms的采样间隔，至少需要采集100个离散值才能准确地重构出图2所示信号的频谱和波形。而根据正弦谐波的表示式：

(4)

确定一个正弦谐波只需要幅度A,频率f和相位φ等3个参数。由线性代数可知，只要在一个正弦谐波的周期内采集3个样点值就可以确定这个正弦谐波。对于图2所示长度为0.2s的时间信号，在理论上我们只需要采集30个样点值就可以准确地重构出信号的频谱和波形。

图1 信号的频谱成分分布

图2 图1频谱成分所对应的时间域信号

2 地球物理数据的稀疏性

信号经某种变换(可以是正交变换或冗余变换)后，如果所得到的变换系数的值大多数为零或接近于零，则称该信号相对于这种变换具有变换稀疏性，相应的变换称为这种信号的稀疏变换。信号变换系数的稀疏分布特性已广泛应用于信号压缩、编码和数据处理[20]，作为一种先验知识也为信号的采样方法研究奠定了基础。地球物理数据是一种空间/空间-时间变化的信号，因此首先需要研究其稀疏性的数学物理基础以及使地球物理数据具有变换稀疏性的稀疏变换。

2.1 地球物理数据稀疏性的数学物理基础

地球物理数据的空间/空间-时间变化特征是由地球物理场所满足的数学物理方程决定的。地球物理中的重、磁、电和地震数据所对应的场u都满足偏微分方程：

Lu=-f(x,t)

(5)

其中，L为二阶偏微分算子,f(x,t)为源项。

对于重磁勘探方法，偏微分算子L为：

(6)

对于电磁勘探方法，偏微分算子L为：

(7)

对于地震勘探方法，偏移微分算子L(考虑声波波动方程)为：

(8)

方程(5)对应的单频Green函数G(x,x0)满足方程：

(9)

对于三维无界空间，重磁勘探方法中位场的Green函数G(x,x0)为：

(10)

电磁勘探方法中电磁场的Green函数G(x,x0)为：

(11)

地震勘探方法中波场的Green函数G(x,x0)为：

(12)

利用Green函数G(x,x0)，我们可以得到单频场的表达式：

(13)

式中：∂Ω表示域Ω的边界;n表示∂Ω的外法线方向。

由公式(13)可知，地球物理场是以Green函数的线性积分表示的，也可视为Green函数的线性叠加，地球物理场的空间变化特征与Green函数的空间变化特征相关。因此，地球物理中位场数据(重磁和静电场数据)的空间变化主要受控于距离倒数的退化函数;波场数据(电磁场和地震波场数据)的时空变化主要由距离倒数的退化函数和旅行时变化决定。地球物理场的这种空间/空间-时间变化特征为地球物理数据的稀疏变换方法研究和地球物理数据的变换稀疏性研究提供了依据，是地球物理数据具有稀疏性的数学物理基础。

2.2 地球物理数据的稀疏变换

根据地球物理场的一般表示式(13)可知，地球物理数据在空间/空间-时间域具备一定的变化特征，我们可以根据这些变化特征来研究和构造相应的变换，使变换后的地球物理数据具备稀疏性。研究表明，变换的基本波形(也称为变换的原子)与信号的变化特征越相似，则信号变换得到的变换系数就越稀疏。由于不同的地球物理数据所对应的数学物理方程具有的Green函数空间/空间-时间变化特征不同，因此不同的地球物理数据应由不同的变换来实现其变换后的稀疏性，即不同的地球物理数据有不同的稀疏变换。

2.2.1 位场数据的稀疏变换/离散余弦变换

由位场中重磁数据所满足的数学物理方程对应的Green函数表示式(10)可知，位场数据的Green函数是一个点扩展形态的空间退化函数，具有空间上的光滑性。位场数据Green函数的这种空间变化特征为我们寻找重磁数据的稀疏变换提供了依据。基于位场的Green函数与余弦函数的变化特征相似，我们认为应用离散余弦变换对重磁数据进行变换可以得到强稀疏性的变换系数。

离散重磁数据p(n1,n2)的二维离散余弦变换可写为：

(14)

式中，P(k1,k2)为重磁数据p(n1,n2)在离散余弦变换域的变换系数。二维离散余弦变换的反变换与正变换有相同的形式，即：

(15)

将公式(14)和(15)用矩阵形式表示，分别为：

P=Dp

(16)

p=D*P

(17)

式中：D和D*分别代表正、反二维离散余弦变换矩阵。由于离散余弦变换的特殊性，所以有D*=D。图3为8×8二维离散余弦变换矩阵图。

图3 8×8二维离散余弦变换矩阵

2.2.2 波场数据的稀疏变换/Curvelet变换

由波场中的地震数据所满足的数学物理方程对应的Green函数表示式(12)可知，波场数据的Green函数除了含有一个点扩展形态的空间退化函数，具有空间上的光滑性外，还含有一个与地震波旅行时联系在一起的子波波形函数，即波场的Green函数在空间-时间域的变化特征不仅具有空间上的光滑性，而且具有时间上有限延续的暂态性。波场数据Green函数的这种空间-时间变化特征为我们寻找地震数据的稀疏变换提供了依据。对于具有光滑性(也称为正则性)的信号或图像，经Fourier变换或余弦变换等都可以得到良好的稀疏变换结果，而对于具有有限延续的暂态性信号或图像，经小波变换可以得到良好的稀疏变换结果。因此，对于空间-时间域的地震数据，比较适用的稀疏变换为Fourier变换和小波变换的结合体，与局部平面波变换类似。Candès等[21]提出的具有多尺度-多方向的Curvelet变换就属于局部平面波变换，他们还从理论上证明了利用Curvelet变换的原子可以实现对波动传播算子(即波动方程的Green函数)的最优表达[22]。因此，我们选用Curvelet变换来实现地震数据的变换稀疏性。图4为Curvelet变换在波数-频率域(即平面波域)的多尺度-多方向分解示意图。

图4 Curvelet变换在波数-频率域的多尺度-多方向分解

3 稀疏性约束的信号采样与重构

在地球物理方法技术中，信号采样或采集就是首先以离散的方式获取信号的样本值，然后由这些离散的样本值准确地重构出信号。稀疏性约束就是假定信号自身或信号经某种变换后的系数具有稀疏性，相对而言，信号的变换稀疏性假定更具有普遍意义。如果信号经某种变换后具有稀疏性，则意味着在变换域仅需要很少的系数就可以实现对信号的表达。

3.1 稀疏性约束的信号采样

对于信号的采集(采样)，可以用以下公式来表示：

y=Gx

(18)

式中：x为原始信号，有x∈RN;y为采集得到的信号，有y∈RM;G代表信号采样(或观测)矩阵，有G∈RM×N，通常有N>M。

在数学上通常应用所谓的0-范数来度量一个信号的稀疏性，即信号矢量中不等于0的分量个数：

(19)

因此，

(20)

表示一个信号x的最稀疏性约束。本文我们只考虑x的变换稀疏性，有：

c=Sx

(21a)

x=S*c

(21b)

式中：S和S*分别代表正、反稀疏变换矩阵，如果S是正交变换，则有S∈RN×N，如果S是冗余变换，则有S∈RL×N，L>N;c为x的变换(分解)系数，有c∈RN或c∈RL。因此x的变换最稀疏性约束可表示为：

(22)

由于c的稀疏性，所以c中非零值系数的数目(也称为c的稀疏度)K≪N，而且这些非零值系数ci在c中的分布位置也是随机的。如果知道K个非零值系数ci的值及其位置，也就知道了x的稀疏变换系数c，可以用(21b)式反变换得到信号x。

将(21b)式代入(18)式，有：

(23)

令A=GS*，得：

y=Ac

(24)

式中：A称为压缩采样矩阵，有A∈RM×N或A∈RM×L。(24)式也称为压缩(稀疏)采样表达式。

由于非零值系数ci在c中随机分布，如果想要通过采样值y来估计出非零值系数ci，那么得到采样值y的最有效采样方式就应该是随机的，即压缩采样矩阵A应为随机分布矩阵。由于稀疏变换矩阵及其反变换矩阵都是确定性的(如2.2节讨论的离散余弦变换矩阵和Curvelet变换矩阵)，因此要求采样矩阵G为一个随机分布矩阵，只有这样才能保证压缩采样矩阵A为一个随机分布矩阵。

3.2 随机且均匀的采样方法

由于实际信号采样数目M的有限性，我们难以做到使采样矩阵G中采样点的分布完全真正随机，因此常会出现采样点分布的过于聚集或过于分散的情况。如图5所示的二维高斯随机采样点分布图，是从128×128规则网格测点中随机抽取1024个测点而得到的测点分布图。考虑在随机采集中出现过于聚集或过于分散的测点分布是极其不利的，我们提出一种避免出现采样点过于聚集的随机采样方法。

要想在随机采样中避免采样点过于聚集，就应该在随机采样中控制采样点之间的最小距离。控制采样点之间的最小距离不仅能保证采样点分布的随机性，而且还能避免采样点的聚集现象，使采样点分布均匀。控制最小距离的随机采样方法是一种随机且均匀的采样方法，图6是应用该方法从128×128规则网格测点中随机抽取1024个测点的结果。对比图5和图6可以看出，图6中的随机采样点分布较图5中的随机采样点均匀，没有出现采样点过于聚集和过于分散的现象。

3.3 稀疏性约束的信号重构

图5 二维高斯随机采样点分布(128×128测网中的1024个随机样点)

图6 控制最小距离的随机采样点分布(128×128测网中的1024个随机样点)

根据压缩采样数据重构原始信号可视为(24)式所表示的压缩数据采样的反演问题及(21b)式所表示的稀疏反变换。利用压缩采样数据y反演原始信号的稀疏变换系数c在形式上属于一个欠定线性反演问题，但利用c的稀疏性，并假定采样数据y的采样数目M相对于c的稀疏度K有M>K(根据经验一般假定M≥6K)，则我们就能很高概率地反演出稀疏变换系数c。因此，在信号的变换稀疏性约束下，由压缩采样数据y重构原始信号x可写为下述最小化问题：

(25)

(26)

(25)式所表示的非凸约束优化问题就被转化为(26)式所表示的凸约束优化问题。

目前常用的稀疏性约束重构算法主要有以下3类：①贪婪算法，如正交匹配追踪法[23];②反演及去噪算法，如迭代阈值法[24];③迭代再加权算法，如迭代再加权最小二乘法[25-26]。由于正交匹配追踪方法和迭代再加权最小二乘方法都涉及矩阵求逆运算，所以难以适应大数据量的信号重构问题。

4 地球物理数据的高效采集方法

地球物理数据分为两类，一是被动源地球物理数据，如重磁数据、被动地震数据等;二是主动源地球物理数据，如人工地震数据、电磁数据等。对于被动源地球物理数据采集，我们仅关心测点的布置，而对于主动源地球物理数据采集，我们不仅要关心测点的布置，还要顾及源点的布置以及源点与测点之间的组合。在常规的被动源地球物理数据采集中，我们首先要根据勘探目标的情况和勘探工作的要求设计一定比例尺的规则测网，即适当大小的测线间距和测点间距，然后在设计好的测网上进行被动源地球物理数据的采集。在常规的主动源地球物理数据采集中，我们首先要根据勘探目标的情况和勘探工作的要求分别设计一定比例尺的规则测点测网和一定比例尺的规则源点网格，即适当大小的测线间距、测点间距和适当大小的源线间距、源点间距，然后在设计好的测点测网和源点网格上进行主动源地球物理数据的采集。

4.1 被动源地球物理数据的高效采集方法

根据常规被动源地球物理数据采集方法，结合稀疏性约束信号采样的要求，我们提出如下被动源地球物理数据高效采集方法与步骤：

1) 根据勘探目标的情况和勘探工作的要求，应用当前常规的观测系统设计方法设计出具有密集规则测线与测点的常规规则测网，这一步也就是常规被动源地球物理数据采集的测网设计;

2) 应用3.2节所述的随机且均匀的采样方法，按设计好的比例(随机测点数与步骤1)中的规则测点数之比，如果待采集数据的稀疏性强，则该比例小，如果待采集数据的稀疏性弱，则该比例大)，对规则测网的测点进行随机抽样，得到非规则、大间距的随机测网，其测点分布随机且数目大为减少;

3) 在非规则大间距的随机测网上进行被动源地球物理数据采集，这样的数据采集具有采集量小、采集工作周期短的优点;

4) 利用3.3节所述的稀疏性约束信号重构方法技术，由非规则大间距随机测网上的观测数据重构出步骤1)设计的密集规则测网上的观测数据。

4.2 主动源地球物理数据的高效采集方法

根据常规主动源地球物理数据的采集方法，结合稀疏性约束信号采样的要求，我们提出如下主动源地球物理数据高效采集方法与步骤。

1) 根据勘探目标的情况和勘探工作的要求，应用当前常规的观测系统设计方法设计出具有密集规则的测线、测点和密集规则的源线、源点的常规规则观测系统，这一步也就是常规主动源地球物理数据采集的观测系统设计。

2) 设计高效采集的测点分布和源点分布方案：①保持步骤1)中源点的密集规则网格不动，应用随机且均匀的采样方法，按设计好的比例对规则测网的测点进行随机抽样，得到非规则大间距的随机测网，在该方案中，测点分布随机且数目大为减少;②保持步骤1)中测点的密集规则测网不动，应用随机且均匀的采样方法，按设计好的比例对规则的源点网格中的源点进行随机抽样，得到非规则大间距的随机源点网格，在该方案中，源点分布随机且数目大为减少;③应用随机且均匀的采样方法，按设计好的比例对规则测网的测点进行随机抽样，得到非规则大间距的随机测网，同时应用随机且均匀的采样方法，按设计好的比例对规则的源点网格中的源点进行随机抽样，得到非规则大间距的随机源点网格，在该方案中，测点和源点的分布都是随机的，而且数目都大为减少。

3) 在步骤2)设计出的高效数据观测系统上进行主动源地球物理数据采集，得到高效采集测网上的观测数据，这样的数据采集具有采集量小、采集工作周期短的优点。

4) 利用稀疏性约束信号重构方法技术由非规则大间距的随机测网上的观测数据重构出步骤1)设计的密集规则测网上的观测数据。

在上述地球物理数据高效采集方法中，野外的数据采集工作量大为减少，采集周期也能大大缩短，但增加了室内的数据重构计算。在理论上，数据的稀疏性越强，则压缩采集的数据量越小。

5 地球物理数据高效采集试验

分别针对被动源地球物理数据(重磁数据)和主动源地球物理数据(人工反射地震数据)进行高效采集试验。在试验中，我们首先按常规地球物理数据采集方法设计密集规则测网，进行地球物理数据的采集(或正演模拟)，得到密集规则测网上的地球物理数据Dt，再应用本文提出的地球物理数据高效采集方法进行地球物理数据的采集(或正演模拟)，得到非规则大间距随机测网上的观测数据(压缩采样数据)Dc，利用稀疏性约束的信号重构方法由Dc重构出密集规则测网上的观测数据Dr，最后把密集规则测网上的重构数据Dr与密集规则测网上的采集数据Dt进行比较，以验证本文高效采集方法的正确性和有效性。

5.1 被动源地球物理数据试验

5.1.1 二维海洋磁测数据试验

图7为一条二维密集规则测网上的海洋磁力异常观测数据Dt，共有353个等间隔的观测数据。应用本文提出的地球物理数据高效采集方法得到非规则大间距随机测网上的海洋磁力异常数据Dc(图8)，其共有70个随机不等间隔的观测数据，高效数据采集的工作量仅为常规密集规则测网数据采集工作量的1/5。应用稀疏性约束的信号重构方法由图8所示的70个随机不等间隔观测数据得到了密集规则测网上353个等间隔的重构数据Dr(图9)。图10为密集规则测网上的重构数据与观测数据之间的差异Dt-Dr，可见差异值非常小。由图10可以看出，本文提出的高效采集方法在本试验中取得了很好的效果。

图7 密集规则测网上的海洋磁力异常观测数据

图8 非规则大间距随机测网上的海洋磁力异常数据

5.1.2 三维重力数据试验

图11为一个三维密集规则测网上的重力异常观测数据Dt，有59条等间隔测线，每条测线有125个等间隔测点，共有7375个数据。应用本文提出的地球物理数据高效采集方法得到非规则大间距随机测网，共有2000个不规则测点，图12为2000个不规则测点的分布，高效数据采集的工作量不到常规密集规则测网数据采集工作量的1/3。应用稀疏性约束的信号重构方法由2000个随机不等间隔观测数据Dc得到了59×125密集规则测网上的重构数据Dr(7375个)，见图13所示。图14为密集规则测网上的重构数据与观测数据之间的差异Dt-Dr，除了边界处个别数据存在一些边界效应外，差异值都很小。由图14可以看出，本文提出的高效采集方法在本试验中也取得了很好的效果。

图9 由压缩采样数据重构的密集规则测网上的海洋磁力异常数据

图10 密集规则测网上的重构数据与观测数据间的差异

图11 3D密集规则测网上的重力异常观测数据

在上述重磁数据试验中，我们应用了离散余弦变换进行重磁数据的稀疏变换。

5.2 主动源地球物理数据试验

应用人工反射地震数据的共炮点道集进行了高效采集试验。试验中炮点布置为密集规则网格，检波点则采用4.2节中提出的高效采集方案①，布置为高效的非规则大间距随机网格。

图12 控制最小距离得到的2000个不规则测点的分布

图13 由压缩采样数据重构的3D密集规则测网上的重力异常数据

图14 3D密集规则测网上的重力异常重构数据与观测数据之间的差异

5.2.1 二维共炮点道集试验

在某一炮点的二维共炮点道集数据采集(或数值模拟)中，我们首先根据勘探要求设计一条密集规则的二维检波点测线，得到其对应的规则共炮点道集数据Dt，如图15所示，共有500道。应用本文提出的地球物理数据高效采集方法得到非规则大间距随机检波点测网上的共炮点道集数据Dc，见图16所示，共有200个随机不等间隔的地震道数据，高效数据采集的工作量仅为常规密集规则测网数据采集工作量的2/5。应用稀疏性约束的信号重构方法由图16所示的200个随机不等间隔地震道数据得到了密集规则检波点测网上500个等间隔地震道，重构出共炮点道集数据Dr，见图17所示。图18为密集规则检波点测网上的重构共炮点道集数据与观测共炮点道集数据之间的差异Dt-Dr，除了边界个别道数据外，差异值都很小。由图18可以看出，本文提出的高效采集方法在本试验中也取得了很好的效果。在本试验中，我们应用Curvelet变换进行地震数据的稀疏变换。

根据地震波场的互易性原理，上述针对共炮点道集数据试验的方法也可应用于共检波点道集数据的高效采集。将检波点布置为固定的密集规则网格，炮点布置为高效的非规则大间距随机网格，即可验证4.2节中所提出的高效采集方案②和③的正确性和有效性。

图15 密集规则采样的共炮点道集观测数据

图16 稀疏不规则压缩采样的共炮点道集数据

图17 由压缩采样数据重构的密集规则采样共炮点道集数据

图18 密集规则采样共炮点道集重构数据与观测数据之间的差异

6 结束语

常规的地球物理数据采集方法是基于Nyquist采样原理发展起来的，Nyquist采样原理则基于信号的Fourier分析理论。如果信号的频谱成分在频带内是稠密分布的，则基于Nyquist采样原理的数据采集方法是高效的，但如果信号的频谱成分在频带内是稀疏分布的，则基于Nyquist采样原理的数据采集方法就不是高效的。本文提出的地球物理数据高效采集方法是对常规地球物理数据采集方法的发展，其理论基础是地球物理数据的变换稀疏性。而不同空间/空间-时间变化特征的地球物理数据经过不同的正交变换或冗余变换才能具备稀疏性，地球物理数据的变化特征与变换原子越接近，则地球物理数据的变换稀疏性越强，高效采集方法的效果越好。由于稀疏变换后地球物理数据有效变换系数分布的稀疏性与随机性，要求地球物理数据高效采集方法中观测点的分布应具备随机且均匀的特性。数据重构中的非凸约束虽然对信号稀疏的度量优于凸约束，但求解凸约束的优化问题易于求解非凸约束的优化问题。考虑到地球物理数据重构中的数据规模和稀疏变换矩阵的表达问题，重构的实现应以梯度类算法为主。本文提出的高效采集方法虽然在数值试验中取得了理想的效果，但还需要得到实际野外地球物理数据采集的进一步检验。

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(编辑：戴春秋)

The preliminary study on high efficient acquisition of geophysical data with sparsity constraints

Chen Shengchang,Chen Guoxin,Wang Hanchuang

(DepartmentofEarthSciences,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

The sparsity in the transform domain of geophysical data (also known as the sparsity of geophysical data) has been widely used in data compression coding and data processing.In the paper,we apply the sparsity of geophysical data for the study on high efficient acquisition method of geophysical data.Based on the study of the mathematical physics foundation of the sparsity of geophysical data,the sparse transform methods aiming at variation characteristics in different geophysical data,the random sampling methods with random and even distribution,and the data recovery methods,we proposed high efficient acquisition methods for passive source geophysical data and active source geophysical data by combining the Nyquist sampling principle used in current data acquisition,the sparsity of the geophysical data and the conventional dense and regular measurement network used in the current geophysical data acquisition.The numerical tests on theoretical geophysical data and field geophysical data obtained ideal results.

geophysical data,high efficient acquisition,sparsity,random sampling,data recovery

2014-05-06;改回日期：2014-12-12。

陈生昌(1965—)，男，教授，博士生导师，主要从事勘探地球物理和计算地球物理研究工作。

国家自然科学基金项目(41374001)资助。

P631

A

1000-1441(2015)01-0024-12

10.3969/j.issn.1000-1441.2015.01.004