李波

一类奇异非线性Dirichlet问题解的存在性

李波

(烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台264005)

主要采用上下解方法，并结合极大值原理证明了一类奇异非线性Dirichlet问题-Δu=b(x)g(u)+λa(x)f(u)，u＞0，x∈Ω，u|∂Ω=0解的存在性.其中Ω为ℝn(n≥2)中的有界光滑区域，λ＜0，g在0处有奇性，且g'(s)＜0，s∈(0，∞)，f∈C(［0，∞)，［0，∞))∩C1((0，∞))，b，a＞0在Ω上局部Hölder连续.

半线性椭圆方程;Dirichlet问题;上下解方法

1 引言和主要结果

设Ω为ℝn(n≥2)中的有界光滑区域，我们考虑如下一类奇异Dirichlet问题

其中:λ＜0，a，b满足(S1):b，a∈(Ω)，0＜α＜1，在Ω上非负非平凡;f满足(f1):f∈C(［0，∞)，［0，∞))∩C1((0，∞));g满足(g1):g∈C1((0，∞)，(0，∞))，，g'(s)≤0，s∈(0，∞).

问题(1)来自于研究非牛顿流体，黏滞流体的边界层现象，化学多项催化剂以及热传导电子材料等物理现象，见文献［1-5］.

目前，关于问题(1)已经有了大量的研究，当λ=0时，问题(1)退化为问题

当b≡1时，Crandall，Rabinowitz和Tartar［3］应用摄动方法和比较原理证明了问题(2)存在唯一古典解u∈C2+α(Ω)∩C(¯Ω).特别地，当g(u)=u-γ，γ＞1时，Lazer和McKenna［6］利用上下解理论得出了问题(2)存在唯一古典解，并且证明了该解有如下性质:(i)如果γ＞1，则u∉C1(¯Ω);(ii)u∈(Ω)当且仅当γ＜3.Zhang和Cheng［7］证明了问题(2)在条件(s)ds＜∞下，整体解的存在唯一性.更多关于问题(2)的解的存在唯一性的研究请参阅文献［8-11］.

作为问题(1)的一个特殊情形，Stuart［2］对任意的γ＞0给出了如下结论:如果p∈(0，1)，λ＞0，则问题

至少存在一个古典解.

然后，Coclite和Palmieri［12］证明了如果p≥1，则存在¯λ∈(0，∞)，使得问题(3)当λ∈［0，¯λ)时至少存在一个古典解，当λ＞¯λ时没有古典解.

最近，Zhang［13］研究了问题(1)当λ≥0，a，b满足(S1)，f，g分别满足(f1)，(g1)时古典解的存在性及解在边界的渐近行为.

本文主要利用上下解的理论方法和极值原理证明了当λ＜0时，问题(1)存在古典解.定理1是本文的主要结果.

定理1设λ＜0，g满足(g1)且)=0，f满足(f1)且在［0，∞)递增，f(0)=0，f(s)＞0，s＞0.a，b满足(S1)在Ω上非负非平凡，假设Va∈C2+α(Ω)∩C(¯Ω)为泊松问……