张建强，张 旻，邵瑞锋

(兰州交通大学 数理与软件工程学院，兰州 730070)

带有反应扩散项的食饵-捕食系统的Hopf分支

张建强，张 旻，邵瑞锋

(兰州交通大学 数理与软件工程学院，兰州 730070)

研究了带有反应扩散项和比率依赖功能反应函数的Holling-Tanner食饵-捕食系统的Hopf分支, 分支方向以及分支周期解的稳定性.

比率依赖功能反应函数；Holling-Tanner食饵-捕食系统；Hopf分支

在文献[1]中，May提出了Holling-Tanner食饵-捕食系统.就生态学来讲，该系统可以用来描述麻雀和食雀鹰等生态系统中种群间的相互作用[2-3]，因此受到了广泛的关注.

Holliing-Tanner 食饵-捕食系统如下：

(1)

其中,U(x,t)和 V(x,t) 分别代表食饵和捕食者在t时刻的种群密度；R和H分别代表内禀增长率；K为食饵的最大环境容纳量；U/C为捕食者依赖于食物的容纳量；1/C可以表示食饵转化为捕食者食物的转化率 M代表单位时间内单位捕食者消耗食饵的最大数量；D代表1/C达到一半时对应于食饵的饱和率.

Holliing-Tanner食饵-捕食系统具有丰富的动力学行为，比如正常数平衡解的全局稳定性，周期解，稳定的极限环，半稳定的极限环等[2-3].在大多数情况下，当食饵捕食理论建立在所谓的比率依赖理论上时更符合实际情况.比率依赖系统如下

(2)

还有一种情况我们应当考虑，如果种群在空间上是非均匀分布的，且栖息在固定的有界区域Ω∈Rn，我们就可以得到以下反应扩散系统

(3)

其中Δ表示Laplace算子；D1,D2分别表示食饵和捕食者的反应扩散系数； 边界条件为齐次Neumann边界条件，这说明系统 (3) 是自封闭的，食饵和捕食者都离不开栖息地.对于带有反应扩散项的Holliing-Tanner食饵-捕食系统已有很多的研究，例如它的全局稳定性,Hopf分支，稳态分支等[7-8].对于带有反应扩散项和比率依赖功能反应函数的食饵-捕食系统也有很多的研究，例如全局稳定性以及局部稳定性等.

本文主要利用文献[4]中的方法，在定义的Sobolev空间中将无穷维算子的特征值问题转化为可列个矩阵的特征值问题，通过分析线性化算子的特征值，以及中心流行和规范型理论.得到了系统(5)的空间齐次和非齐次周期解的Hopf分支值，并且推导出了系统空间齐次Hopf分支值的分支方向和稳定性条件.

1 带有反应扩散系统的空间齐次和非齐次Hopf分支值

对系统 (3) 做无量纲化变换. 令

我们仍然用t代表s，得到与系统 (3) 等价的以下系统

(4)

为了后面讨论的方便以及得到更好的结果，我们假设空间Ω=(0,lπ),l∈R+，是空间一维的.并且由[5],我们可以假设d1=1,d2=1, 并且通过选择适当的比例使a=1,

接下来为了讨论系统(4)间齐次和非齐次Hopf分叉的存在性，我们固定参数h,让λ作为分支参数.

(5)

这就将系统 (4)价的转化为系统 (5)的(0,0) 解.

定义实的Sobolev空间为

同时定义X复化空间为

可得系统 (5)在(0,0)点的线性化算子为

(6)

众所周知

-ψ″=γψ,x∈(0,lπ),ψ′(0)=ψ′(lπ)=0.

为L(λ) 对应的特征值 γ(λ) 的特征函数，也就是L(λ)(θ1,θ2)T=γ(λ)(θ1,θ2)T. 通过分析可得

其中

由此可知，L(λ) 的特征值可以由 Ln(λ) 的特征值给出，其中n∈N0,Ln(λ) 的特征方程为

μ2-μTn(λ)+Dn(λ)=0,n∈N0,

其中

(7)

因此，特征值为

下面将考虑系统可能发生Hopf分支的分支值λH.从而存在n∈N0使得

Tn(λH)=0,Dn(λH)>0, 对m≠n满足Tm(λH)≠0,Dm(λH)≠0,

(8)

并且在唯一的一对纯虚根α(λ)±iω(λ)附近满足α′(λ)≠0.

其中，

从而，可能发生Hopf分支的任何分支值一定在区间[λ*,2)，对区间[λ*,2)它的任一Hopf分支值λH,α(λH)±iω(λH)是L(λ)的特征值.则

并且

(9)

根据以上分析，我们可以用以下集合来考虑Hopf分支值问题

ΛH:={λH∈[λ*,2):对于某个 n∈N0,(9)式成立}.

定义

(10)

(11)

通过以上分析，我们得到以下结论.

2 带有反应扩散系统的空间齐次周期解的分支方向和稳定性

证明:以下证明主要采用文献[7]中的标记. 记

系统(5)在正常数平衡点E*=(u*,v*)处可以写成以下形式

其中

其中

从而可得

c0:=C1+C2iω0, d0:=D1+D2iω0, e0:=E1+E2iω0,

f0:=F1+F2iω0, g0:==G1+G2iω0, h0:=H1+H2iω0.

其中

则

因此

由此计算可得H20=0, H11=0.

[1] SáEZ E, GONZáLEZ-OLIVARES E. Dynamics of a predator-prey model[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1999, 59(5)：1867-1878.

[2] TANNER J T. The stability and the intrinsic growth rates of prey and predator populations[J]. Ecology, 1975：855-867.

[3] WOLLKIND D J, COLLINGS J B, LOGAN J A. Metastability in a temperature-dependent model system for predator-prey mite outbreak interactions on fruit trees[J]. Bulletin of Mathematical Biology, 1988, 50(4)：379-409.

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(责任编辑 梁志茂)

Hopf bifurcation in the reaction-diffusion prey-predator system

ZHANG Jian-qiang,ZHANG Min,SHAO Rui-feng

(School of Mathematics, Physics, and Software Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

The Hopf bifurcation of Holling-Tanner prey-predator system which contains reaction-diffusion and ratio-dependent functional response,the bifurcation direction and the bifurcation periodical stability ate studied.

ratio-dependent functional;Holling-Tanner prey-predator system;Hopf bifurcation

2014-09-29.

张建强(1986-)，男，硕士研究生.主要研究方向：非线性动力学与模拟控制.

O175.13

A

1672-8513(2015)04-0304-06