林 琳，雒志学

(1．运城农业职业技术学院基础教学部，山西运城 044000；2．兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

具有斑块结构的捕食-食饵系统的研究

林 琳1，雒志学2

(1．运城农业职业技术学院基础教学部，山西运城 044000；2．兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

研究了一类具有斑块结构的Lotka-Volterra型捕食-食饵系统的动力学行为，讨论了该系统平衡点的存在性，通过构建适当的Lyapunov函数，给出了系统正平衡点的全局渐近稳定的充分条件．关键词：斑块环境；捕食者；食饵；平衡点；稳定性；Lyapunov函数

在实际生存环境中，存在许多对于物种的生存发展有利或有害的自然现象，为了控制不利因素的影响，并充分利用有用有利的因素，深入研究处于多变环境中的自然现象的数学模型是及其重要．在众多的数学模型中，如：Logistic增长模型，Malthus人口模型，Cui-Lawson模型等，微分方程在各领域的理论价值无可替代．许多数学工作者研究了空间扩散行为的各种形式，并深入讨论了不同的空间扩散行为对动力学的影响[1-3]，其中在斑块环境中，扩散的种群模型的研究也取得了很大的进展[4-7]．本文以Lotka-Volterra模型[8]为基础，建立了一类具有斑块结构的两种群捕食-被捕食模型．

1 模型假设及建立

假定每个斑块都是自治的，斑块1中有捕食者种群和食饵种群，斑块2中只有具有庇护所效应的食饵种群．庇护所效应对食饵形成了一个保护，在此斑块中，不允许对食饵种群进行捕获．以Lotka-Volterra模型为基础，假设食饵种群可以在两个斑块间任意迁移，建立以下模型：

其中，x（ t）和y（ t）分别表示在t时刻无庇护所的食饵种群密度及优庇护所的食饵种群密度；z（ t）为t时刻捕食者的种群密度；σ1和σ2分别表示从无庇护所到有庇护所的迁移率及从有庇护所到无庇护所的迁移率；E是捕获努力度；r和s为无庇护所的食饵种群固有增长率及有庇护所的食饵种群固有增长率；α是捕食者种群的固有增长率；K和L为密度制约项；γ是捕食者种群间的密度制约；m是捕食者对无庇护所的食饵种群的捕食率；a是转化率；q是捕捞系数．假设所有参数都为正常数．

注意到，如果没有从有庇护所到无庇护所的迁移（即σ2=0），如果r-σ1-qE ＜0，则＜0．

类似，如果没有从无庇护所到有庇护所的迁移（即σ1=0），如果s-σ2＜0，则＜0．

2 平衡点的存在性

3 正平衡点的定性分析

首先，我们考虑正平衡点的局部稳定性．

系统（1）的特征矩阵为：

由Routh-Hurwitz定理[9]可知，当且仅当a1＞0,a3＞0和a1a2＞a3，系统（11）的所有特征根有负实部．因此，P3（ x*,y*, z*）是局部渐近稳定的．

定理2暗示了，在缺少捕食时，即使对食饵种群进行连续的收获，食饵种群仍然可以在平衡水平持续生存．

[1] 张瑛瑛, 张睿. 食饵具有阶段结构的捕食者-食饵扩散模型的研究[J]. 温州大学学报: 自然科学版, 2011, 32(3): 1-5.

[2] 陈梅艳, 张睿, 孙军芳. 一类具有年龄结构的食物链扩散模型的稳定性[J]. 温州大学学报: 自然科学版, 2008, 29(4): 6-10.

[3] 彭锐, 王明新. 一个具有扩散和比例依赖响应函数捕食模型的定性分析[J]. 中国科学, 2008, 38(2): 135-148.

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[9] 马知恩, 周义仓. 常微分方程定性与稳定性方法[M]. 北京: 科学出版社, 2001: 46-51, 70-71.

Research on the Predator-Prey System with Two Species for Prey in Patchy Environment

LIN Lin1, LUO Zhixue2
(1. Primary Education Dept., Yuncheng Polytechnic College of Agriculture, Yuncheng, China 044000; 2. Department of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China, 730070)

The dynamic behavior of Lotka-Volterra prey-predator system with two species for prey in patchy environment is studied and the existence of its equilibrium point is discussed. By constructing appropriate Lyapunov functions, some sufficient conditions are given for the global asymptotic stability of a positive equilibrium of this model.

Patchy Environment; Predator; Prey; Equilibrium Point; Stability; Lyapunov Function

O175.1

A

1674-3563(2015)01-0001-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.01.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2013-12-02

国家自然科学基金资助项目(11061017)；甘肃省自然科学基金(1010RJZAO75)

林琳(1983- )，女，山西运城人，讲师，硕士，研究方向：生物数学