基于凸优化的最优失配滤波器设计方法

2015-06-23胡亮兵

中国电子科学研究院学报 2015年2期

关键词：失配旁瓣电平

胡亮兵

(南京电子技术研究所,南京 210039)

工程与应用

基于凸优化的最优失配滤波器设计方法

胡亮兵

(南京电子技术研究所,南京 210039)

研究提出了基于凸优化的最优峰值旁瓣电平失配滤波器设计方法。与传统的迭代最小二乘方法相比,凸优化方法具有更优越的性能即：不仅能够控制失配滤波器的信噪比损失,而且能够保证收敛到全局最优的峰值旁瓣电平。仿真实验表明,增加失配滤波器长度,以微小的信噪比损失,凸优化方法能够得到理想的峰值旁瓣电平；通过选择匹配滤波器与失配滤波器的相似程度参数可以有效控制信噪比损失。

失配滤波器设计；最优峰值旁瓣电平；信噪比损失可控；凸优化

0 引言

脉冲压缩信号解决了雷达威力和距离分辨率之间的矛盾，因而被广泛地作为雷达的发射波形。但是脉冲压缩信号存在时域旁瓣高的问题。为了抑制脉冲压缩信号的旁瓣电平，通常在接收端设计发射信号的失配滤波器[1-7]。失配滤波器的核心思想是以损失信噪比或增加滤波器系数长度为代价换取更低的旁瓣电平。

设计失配滤波器的准则有极小化积分旁瓣电平和极小化峰值旁瓣电平两种。在雷达多目标不同信噪比检测情况下，往往采用极小化峰值旁瓣电平准则。目前，设计最优峰值旁瓣电平失配滤波器的普遍方法是迭代加权最小二乘方法[2-5]。但是，该方法在理论上不能保证全局最优性，并且在实际的迭代过程中如果参数设置不当还会出现矩阵求逆奇异的现象，另外对失配滤波器的信噪比损失没有办法进行控制。研究根据在信号已知的情况下，脉冲压缩的输出是由失配滤波器的线性函数，以及信噪比损失程度来表征，从而，提出了一种基于凸优化的最优峰值旁瓣电平设计方法，克服了迭代最小二乘法数值计算出现异常以及不能保证收敛到全局最优解的问题。

研究给出了失配滤波器的相关数学符号和定义；并提出了用凸优化设计最优峰值旁瓣电平失配滤波器的方法；设计仿真实验，比较迭代最小二乘方法和凸优化两种设计方法，并研究了在信噪比损失一定的情况下失配滤波器长度与峰值旁瓣电平之间的关系，以及在失配滤波器长度一定的情况下，失配滤波器和匹配滤波器的相似程度参数与信噪比损失、峰值旁瓣电平的关系。

1 数学符号和定义

定义码长为N的信号波形s（复数）与其系数长度为P的滤波器h（复数）分别为:

式中CN表示N维复数，||·||2表示2-范数，式（1）的右边等式表示对s进行能量归一化。

为了数学形式的简单以及能够采用矩阵形式表达数学公式，将序列s首尾补充相同的零扩展成长度为P的向量:

为了能够控制失配滤波器的信噪比损失，我们引入参数e来约束信号的匹配滤波器与其失配滤波之间的相似程度:

式中h0为信号的匹配滤波器:

其中（·）*表示共轭，当相似程度参数e越大，对失配滤波器与匹配滤波器相似性约束更加放宽，信噪比损失就可以变得越大（对信噪比损失要求放宽越大，峰值旁瓣电平就可以优化地更低）。

则失配滤波器的输出y为:

由于采用最小化峰值旁瓣电平准则，权值选取策略为:主瓣权值取0，旁瓣权值取1。对于旁瓣电平加权策略，此方法要比迭代加权最小二乘法简单，因为后者的权值是不断更新的[2-5]:

其中（·）（k）表示第k次迭代的值，c为一常数，它的作用是为了避免数值计算异常现象。在仿真实验中如何确定常数c是一件非常需要经验和技巧并不断试探的工作。值得特别说明的是线性调频信号失配滤波器的主瓣和副瓣界定:将匹配滤波器的零点主瓣加上一定的保护距离单元作为失配滤波器的主瓣区域，剩余的则为副瓣区域，其中保护距离单元的个数通过实验逐渐调整来确定。

为了评价最优失配滤波器性能，定义峰值旁瓣电平PSL:

和信噪比损失SNRL:

其中（·）H表示共轭转置，式（12）要求信号和滤波器系数要能量归一化。

2 最优峰值旁瓣电平滤波器的设计方法

定义了相关数学符号后，建立如下数学模型:

式（13）和式（14）表示限定信噪比损失在一定范围内，极小化峰值旁瓣电平求解失配滤波器h。

以上数学模型为凸优化问题，因为式（14）定义了一个凸集；并且是h的线性函数，根据对变量的线性函数进行求模运算后的函数仍然是凸函数，以及对多个凸函数进行求最大运算后的函数仍然是凸函数的性质，得出的凸函数[8]。

上述凸优化问题可以借助Matlab工具包CVX[9]（内含高效求解内点法 SeDuMi[10]）或者YALMIP[11]来解决。通过优化可以得到滤波器的全局最优数值解hopt。

3 仿真试验

3.1 Barker码失配滤波器设计

根据数学模型（13）和信噪比损失约束条件（14），利用CVX求解13位Barker码当P=3×13，5×13，7×13，9×13的失配滤波器。表1给出了用本研究方法设计的结果如表1所示，并与文献[4]的迭代最小二乘方法进行了比较。从表中可以看出，当滤波器长度P等于3倍码长时，两种方法结果一样，当等于5，7和9倍时，凸优化方法要优于文献[4]的方法。

表1 13位Barker码失配滤波器设计结果

失配滤波器长度为9倍信号长度时的脉压结果如图1所示。由图可知，采用设计失配滤波器的信噪比损失SNRL比较小（仅损失0.212 dB），峰值旁瓣电平低并且距离旁瓣特别平坦。

图1 滤波器长度为5x13的脉压输出

当信噪比损失保持恒定的情况下，PSL随滤波器长度的变化如图2所示，由图可知，在保持e= 0.5时，SNRL基本保持不变，但是PSL随着滤波器长度P的增加而单调递减，可见增加滤波器长度可以提高PSL。但是当P增加到一定的程度，滤波器计算量变大，因此考虑实际问题时，需要折中选择滤波器长度P，使得计算量与旁瓣性能达到一个合适的平衡点。

图2 PSL与滤波器长度的关系

3.2 线性调频信号失配滤波器设计

仿真条件:线性调频信号的带宽BW为1 MHz，脉冲宽度为50 us，信号采样率为2 MHz，失配滤波器长度P与信号长度N相等，即P=N=100，偏离脉压主瓣峰值左右9个距离单元以上的脉压值被认为是副瓣，设其加权值为1。上述信号的实部波形如图3所示。

图3 1 MHz带宽50 us脉宽的线性调频信号

e=0.5时的结果如图4所示。由图可知，在失配滤波器长度等于匹配滤波器长度时，通过损失微小的信噪比（0.635 dB），可以极大改善峰值旁瓣电平（比匹配时降低22 dB多），从而说明该研究提出方法的有效性。

当P一定时，SNRL和PSL随e的变化关系如图5所示。由图中的两条曲线可知，当e增大时，SNRL越来越大，PSL越来越小；SNRL变化缓慢，PSL在e＜0.3时变化剧烈。在实际的设计中，选择合适的e以折中信噪比损失与峰值旁瓣性能，一个不错的选择是PSL开始变化缓慢所对应的e值，对于本例可以选择e=0.3，此时PSL=-34.4 dB，SNRL=0.404 dB。

图4 线性调频信号的失配滤波器

图5 当P一定时，SNRL和PSL随e的变化关系

需要指出的是，该研究方法可以通过调节e控制信噪比损失，而这一点对于迭代加权最小二乘法来说并不容易实现，它跟迭代次数和旁瓣加权策略有关。

4 结语

[1]ACKROYD H.M.，GHANI F.Optimum Mismatched Filters for Sidelobe Suppression[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic.1973.

[2]BADEN J.M.ANDCOHENM.N.Optimal Peak Sidelobe Filters for Biphase Pulse Compression[J].IEEE International Radar Conference.1990.

[3]NUNN C.Constrained Optimization Applied to Pulse Compression Codes，and Filters[J].IEEE International Radar Conference.2005:190-194.

[4]HU C.H，LIU R.B.ZHOU Q.F.Mismatche-Filter Design for Biphase-coded Pulse for High Frequency Untrasound Imaging[J].IEEE Ultrasonics Symposium. 2006.

[5]GRIEPR.K.，RITCEY A.J.，Burlingame J.J..Poly-Phase Codes and Optimal Filters for Multiple User Ranging[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems.1995，31（2）:752-767.

[6]HU LIANGBING，LIU HONGWEI.，FENG DAZHENG. Optimal Mismatched Filter Bank Design for MIMO Radar via Convex Optimization[C].Waveform Diversity Conference，Canada.2010.

[7]BI JINGYING.Mismatched Filter Design for Radar Systems[M].Germany:Shaker Verlag Gmbh，Germany. June，2013.

[8]STEPHEN BOYD.Convex Optimization[M].UK:Cambridge University Press.2004.

[9]GRANTM AND BOYD S.CVX:Matlab Software for Disciplined Convex Programming.Version2.1，Build1077.

[10]STURM J.F.Using SeDuMi1.02，A MATLAB Toolbox for Optimization over Symmetric Cones.Optim.Meth. Softw.1999:11-12.625-653.

[11]J.LOFBERG.YALMIP:A Toolbox for Modeling and Optimization in Maltab.Release 20140221，http://users. isy.liu.se/johanl/yalmip.2014.

研究分析了最优峰值旁瓣电平失配滤波器的设计问题，即如何通过失配滤波的方法改善信号波形的脉冲压缩性能。基于凸优化提出了最优失配滤波器设计方法，并通过仿真实验与已有的迭代加权最小二乘方法进行了比较，结果表明凸优化设计方法性能更加优越:不仅可以控制信噪比损失，而且可以得到更低的峰值旁瓣电平。

Optimal Peak Side-lobe Level M ismatched Filter Design M ethod via Convex Optim ization

HU Liang-bing
（Nanjing Research Institute of Electronics Technology，Nanjing 210039，China）

In this paper，a mismatched filter design method based on convex optimization is proposed. Compared with existing iterativeweighted least squaresmethod，the convex optimizationmethod has superior performance.It can not only control the SNR loss，but also geta lower peak side-lobe level.Simulation results show that by increasing the coefficient length ofmismatched filter，the proposed methods can further improve the peak sibe-lobe levelwith a little SNR loss.Moreover，SNR loss can be controlled via selecting a parameter called degree of similarity between matched filter and mismatched filter.

Mismatched filter design；peak side-lobe level；convex optimization

TN713

1673-5692（2015）02-209-04