曲大庄， 金 乐， 周 全， 李梦启， 贾 鑫

（1.国家核电技术公司，北京100029；2.哈尔滨动力装备有限公司，哈尔滨150066）

近年来，大型核电主泵电机多采用水为内部冷却介质，如屏蔽电机和湿绕组电机.与传统置于空气中的主泵电机不同，由于电机定转子之间充满了冷却水，当电机高速旋转时，转子表面将带动冷却水随转子一起转动形成周向间隙环流，会对转子的振动产生一定的附加影响.鉴于核安全的重要性，深入研究这种间隙环流对核电主泵电机转子振动产生的附加影响，对核电站安全可靠运行有十分重要的意义.

通常研究间隙环流对转子振动的影响主要包含两方面的工作：一是间隙环流的动力学特性；二是这种动力学特性对转子振动的影响.国外学者［1－4］在该领域无论从理论建模还是试验验证均取得了一些有价值的研究成果并应用于工程实践，国内学者［5－8］近年来在该领域也进行了非常有益的研究和探索，丰富并推动了该领域的发展.

对于间隙环流的动力学特性，已取得的研究成果主要是通过能量守恒及摄动方法，把间隙环流对转子振动的影响以附加质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的形式转化为作用在转子上与转速和结构参数密切相关的流体激励载荷.对于这种动力学特性对转子振动的影响，虽然已有许多研究成果，但针对转子振动稳定性的边界条件及涡动频率的改变、转子振动质量不平衡稳态响应振幅变化以及相应的临界转速等的研究还不够完善，需要进一步深入探讨.

笔者根据文献［1］中对间隙环流动力学特性的研究成果，结合水冷却核电主泵电机转子的结构特点，以两端简支的单圆盘转子为振动分析模型，研究了间隙环流对核电主泵电机转子振动的影响.利用Hurwitz判据和振动系统复特征值方法给出了转子振动稳定性的边界条件以及涡动频率的改变；通过解析求解转子振动质量不平衡稳态响应，得到了转子稳态振幅的变化依据以及相应的临界转速.借助复模态理论［9］和有限元分析方法，对一台实际核电屏蔽电机主泵的转子振动问题进行了数值模拟，为进一步深入研究间隙环流对核电主泵电机转子振动影响的机理提供了理论依据.

1 间隙环流动力学特性及转子振动方程

Antunes等［1］对图1所示浸没在流体中的转子进行了比较深入的研究.根据流体在定转子间隙中周向环流的连续性和力矩平衡，给出了单位长度上间隙环流沿转子周向的压力分布.

图1 定转子间隙环流Fig.1 Annular flow around stator

式中：ρ为流体质量密度；R 为转子半径；h 为定转子间 隙；u 为 环 流 平 均 速 度；Ω 为 转 速；fs、fr分 别 为定、转子表面与流体的摩擦因数.

对于大多数无初始安装偏心（ε0＝0）的情况，利用摄动法得到压力分布的零阶解

式中：ε为转子偏心率；δ＝h／R，为定转子间隙比.

通过式（2）可以看到，间隙环流的压力分布形式在很大程度上取决于间隙比δ的数值.图2给出了间隙环流的压力分布.由图2可知，对于较小的间隙比，式（2）表现出类似流体滑动轴承［10］的雷诺效应；但随着间隙比的增大，式（2）则逐渐表现出伯努利效应，它使转子振动位移导致间隙减小侧的流速增大而压力降低，使转子振动位移进一步增大，结果出现转子振动失稳的现象.

图2 间隙环流压力分布Fig.2 Pressure distribution of annular flow

当转子在轴心位置发生小扰动时，对式（2）压力分布在坐标x、y 方向的2 个分量沿转子周向进行积分，可得到作用在转子上由间隙环流产生的流体载荷［1］

式中：ms为流体附加质量；L 为转子长度；ma为间隙环流的总质量.

为从机理上进行研究，可略去结构阻尼，将核电主泵电机转子振动问题简化成两端简支的单圆盘转子，在质量不平衡载荷以及式（3）流体载荷的联合作用下，由振动理论［11］直接得到转子振动的微分方程

式中：m 为转子质量；k 为弹簧刚度；｛fxfy｝T为不平衡质量载荷.

由式（4）可见，间隙环流的动力学特性是以附加质量ms、附加阻尼cij和附加刚度kij（i，j＝x，y）的形式对核电主泵电机转子振动产生附加影响的.按照线性振动理论，它包含两个方面：一是与齐次解有关的转子振动稳定性边界条件以及涡动频率；二是与特解有关的质量不平衡稳态响应的振动幅值及临界转速.

2 稳定性边界条件及涡动频率

可得到复特征值s要满足的代数方程为

令质量比μ＝ma／m，再代入式（3）中各矩阵，有

根据Hurwitz判据，使式（6）所描述的振动系统周期解处于稳定状态的充要条件是它的系数满足

由于在式（8）中始终有a1＞0，a3＞0，a4＞0，并且对于实际核电主泵电机的结构参数，只有当间隙比δ非常大且满足δ3－μδ2－2μf2＞0的条件时，才会出现a2≤0的情况.因此在通常情况下，若再定义Ωc为失稳转速，可根据的要求得到判定转子振动稳定性的边界条件为

对于摩擦因数f＝0 的特殊情况，系数a1＝a3＝0，不能直接利用Hurwitz判据，但可通过直接求解式（6）的复特征值

从式（9）可以看到，当摩擦因数f≠0 时，转子振动的稳定性边界与任何结构参数无关，只要转子的工作转速大于转子固有频率的2 倍时即出现失稳.对于摩擦因数f＝0 的特殊情况，根据式（11），转子振动的稳定性边界大于2倍转子固有频率，并与质量比μ 和间隙比δ 有关.

若令复特征值s＝σ±jω，其中σ和ω 分别为复特征值s的实部和虚部，并定义转速比α＝Ω／ωn、阻尼比γ＝σ／ωn和频率比αn＝ω／ωn，还可通过直接求解式（6）的复特征值，并根据其实部判定转子振动的稳定性以及由虚部确定其涡动频率.假定工程上摩擦因数f＝0.02，图3给出了对于不同间隙比δ 时转子振动稳定性边界的变化，其中实线为第一阶振动，虚线为第二阶振动.由图3可以看到，不论间隙比δ如何变化，式（9）始终成立.图4给出了涡动频率的计算结果，其中实线为第一阶振动，虚线为第二阶振动.由图4可以看出，在较大的转速范围内，转子振动的涡动频率远小于其固有频率，其原因在于间隙环流中的附加质量ms.由图4还可以看出，随着间隙比的不同，转子振动存在第一阶涡动频率为零的转速，这是一种非周期不稳定状态，也应引起重视.

图3 不同间隙比下的阻尼比Fig.3 Ratio of damping for different clearance ratios

图4 不同间隙比下的频率比Fig.4 Frequency ratio for different clearance ratios

3 质量不平衡响应的振幅及临界转速

任何转子都存在不同程度的质量不平衡，若将质量不平衡的离心力在2 个坐标x、y 方向上的载荷表示为fx＝f0cosΩt及fy＝f0sinΩt，则可将有间隙环流转子振动的质量不平衡响应表示为

展开上式并代入式（4），再令

可以得到计算振动的质量不平衡响应振幅的代数方程为

式中：xc＝Xcosφx；xs＝－Xsinφx；ys＝Ycosφy；yc＝Ysinφy；tanφx＝－xs／xc；tanφy＝yc／ys.

通过代数求解式（14），并根据式（12）中振幅和相位角的定义有X＝Y＝Am及φx＝φy＝φm，若再令与系统参数有关的等效阻尼比

可得到振幅和初始相位

显然，间隙环流以等效阻尼比ξeq的方式对转子振动质量不平衡响应振幅Am产生影响，它不但与间隙环流的结构参数有关，而且还随转速发生变化.

可根据振幅Am的极值条件确定临界转速比αc，即令∂Am／∂α＝0，有

假定工程范围的摩擦因数f＝0.02，图5给出了等效阻尼比ξeq随不同间隙比δ的变化.从图5可以看出，等效阻尼比与间隙比成反比、与转速比成正比.图6给出了振幅比）随不同间隙比δ的变化，同样可由振幅比的变化看到间隙比的阻尼效应.此外，图中虚线表示无间隙环流时的振幅比，当αc＝1时出现共振；图中实线则不同，有间隙环流时，振幅出现极值的转速比αc＜1，表现出临界转速下降，且降低程度与间隙比成反比.

图5 不同间隙比下的等效阻尼比Fig.5 Ratio of equivalent damping for different clearance ratios

图6 不同间隙比下的振幅比Fig.6 Amplitude ratio for different clearance ratios

值得指出的是，虽然间隙环流会降低振幅出现极值时的临界转速，但其阻尼效应同样也会使转子振幅的极值下降，通常不至于产生比较严重的后果.

4 屏蔽电机主泵转子振动的有限元分析

前面讨论了间隙环流对简单转子振动的影响，解析地给出了一些影响特征和规律.但对于实际的核电屏蔽电机主泵，由于转子结构的复杂性以及间隙环流作用的有限区域，还需要采用有限元方法进行进一步的分析计算.

对于图7所示的屏蔽电机主泵转子，若令转子振动的坐标方向为z＝｛x，y｝T，采用有限元方法建立的转子振动微分方程可表示为

式中：M 为质量矩阵；C 为阻尼矩阵；K 为刚度矩阵；f 为作用在转子上的质量不平衡激励载荷.

M、C、K 矩阵主要由三方面构成：一是转子的结构参数，可利用空间梁单元［12］以等效的弯曲刚度和截面质量离散化近似；二是间隙环流的动力学特性，可利用式（3）的系数直接施加到相应的节点；三是轴承的支撑参数，为突出间隙环流的影响，只选取轴承弹簧系数.

图7 屏蔽电机主泵转子及有限元模型Fig.7 Finite element model for the rotor of canned motor pump

由于式（18）为非对称矩阵系统，不能在传统的实空间求解，需要根据复模态理论将其转换到状态空间

再令z（t）＝Aest并代入上式的齐次方程中，得到复特征值s＝σ±jω，最终以此判定转子振动的稳定性及涡动频率.若令zc＝｛xcyc｝T，zs＝｛xsys）T，可将转子振动质量不平衡稳态相应表示为z＝zccosΩt＋zssinΩt，将其代入式（18）得到

具体计算时利用Matlab软件编制了相应的计算分析程序.图7所示转子振动有限元模型共分成37个节点，间隙环流作用在等效直径为D＝0.615 m 的转子本体12～20节点，轴承支撑在跨距为L＝3.420m 的6 和25 节 点，弹 簧 系 数 为kxx＝kyy＝1.29×109N／m，质量不平衡载荷集中作用在上下飞轮的3和35节点，并且f3＝f35＝0.223N，转子材料弹性模量为E＝2.06×1011N／m2，定转子与流体摩擦因数取f＝0.02，定转子间隙比为δ＝0.02，略去了转子结构阻尼和电磁弹性系数.

不考虑间隙环流，只有轴承支撑弹簧系数时转子振动固有频率的基频为ω0＝38.98Hz，其他各阶固有频率分别为ωn1＝1.00ω0，ωn2＝1.09ω0，ωn3＝1.48ω0，ωn4＝3.56ω0，相应的振动模态示于图8.

考虑间隙环流时，模态坐标下转子振动的阻尼σ和频率ω 以成对的方式随转速Ω 发生变化，分别对应于ωn1～ωn3的前六阶计算结果示于图9 和图10.从图9和图10中可以明显看到间隙环流对第一阶固有频率ωn1和第三阶固有频率ωn3的影响较大，而对第二阶固有频率ωn2的影响较小.这是由于只有在转子本体处才存在间隙环流，根据图8中的转子振动模态，可以得出间隙环流只对转子本体振动较大的模态产生明显影响，它表现在转子振动存在2种失稳现象：一是Ω＞2ωn1或者Ω＞2ωn2时，σ＞0出现周期性失稳；二是在Ω＝1.10ωn1附近存在ω＝0的非周期性失稳.比较它们与图3 和图4 中δ＝0.02的结果，可以看出单圆盘转子的分析结论与有限元前两阶（对应ωn1）模态计算结果的特征与规律是一致的.

对于转子振动质量不平衡稳态响应，图11给出了轴承支撑处和转子本体中部的振幅计算结果.无间隙环流时有3 个振幅极值点，分别发生在Ω＝ωn1、Ω＝ωn2和Ω＝ωn3处.有间隙环流时明显的振幅极值点只有2个，分别为对应ωn2的Ω＝1.05ω0和对应ωn3的Ω＝1.13ω0.与ωn1相对应的极值点估计发生在Ω＝0.75ω0附近，但如图9所示，由于此时有较大的阻尼作用，故其振幅不易辨识.

图8 无间隙环流时转子振动固有频率及模态Fig.8 Natural frequency and mode of rotor vibration without annual flow

图9 模态坐标阻尼比Fig.9 Modal damping ratio

由此可以推断，间隙环流等效阻尼使振幅极值和临界转速下降的特性与转子振动的模态密切相关，还需要进行深入研究.

图10 模态坐标频率比Fig.10 Modal frequency ratio

图11 质量不平衡稳态响应振幅Fig.11 Steady state response amplitude of unbalanced rotor vibration

5 结 论

对于可简化为单圆盘的转子振动，间隙环流的影响表现在：

（1）当转子工作转速大于固有频率的2倍时，间隙环流会使转子振动出现周期性失稳；在工作转速范围的某个特定转速，随着间隙比的不同，间隙环流可能使转子振动出现非周期性失稳.

（2）间隙环流会降低转子振动的涡动频率，主要因素是附加质量，降低程度与结构参数间隙比成反比.

（3）间隙环流使转子振动质量不平衡稳态响应振幅下降，主要原因是等效阻尼的作用.与涡动频率相对应的振幅出现极值的临界转速也同样下降.

（4）间隙环流的主要危害是对转子振动稳定性的影响.对于刚性转子（工作转速低于固有频率）没有任何问题，但对于柔性转子（工作转速高于固有频率）则要特别小心.

上述结论同样适用于实际的核电主泵电机转子振动，但间隙环流的影响程度与转子振动的各阶模态密切相关.对于第一阶振动模态，单圆盘转子的分析结论与有限元计算结果是一致的，对于高阶振动模态，还需要进一步研究.

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