苏延辉

(福州大学数学与计算机科学学院， 福建 福州 350116)

一类二维分数阶偏微分方程解的适定性

苏延辉

(福州大学数学与计算机科学学院， 福建 福州 350116)

研究一类二维分数阶偏微分方程的边值问题， 主要包括两方面内容： 一是研究了合适的分数阶Sobolev 空间及分数阶算子的性质； 二是发展了一个弱解的理论框架， 并建立了弱解的适定性理论. 这是构造数值方法(如有限元和谱方法等)求解二维分数阶偏微分方程的理论基础.

分数阶导数； 弱解； 变分形式； 适定性

0 引言

分数阶偏微分方程在现代科学中发挥着越来越重要的作用. 现代的研究表明， 很多重要的物理和生物系统均可以由分数阶偏微分方程来描述. 近年来出现大量的关于分数阶偏微分方程的理论分析和数值研究[1-6]. 但相对于整数阶方程的研究， 分数阶方程的研究是相当不完备的. 分数阶偏微分方程的主要困难在于： 1)分数阶算子是非局部算子； 2)分数阶算子F的伴随算子不是-F.

在文献[1-2]中， Ervin和Roop研究了分数阶导数空间并在有界区间和有界凸区域情形对稳态分数阶扩散方程的变分解提出了一个理论框架. 然而, 他们没有研究弱解的适定性. 在文献[3-4]中， Li和Xu研究了定义在有界区间上的分数阶Sobolev空间并对时空分数阶方程提出了弱解策略， 并证明了弱解的适定性. 更进一步， 他们针对弱解策略提出了数值计算的谱方法并进行了误差分析.

基于上述工作， 本文考虑二维凸区域上的分……