江丽平，隋成华，陈晓明

（1.浙江工业大学 理学院应用物理系，浙江 杭州，310023；2.杭州博源光电科技有限公司，浙江 杭州，310023）

引言

到目前为止，以全息术为基础制造光学元件的可能性已经完全被肯定，而全息光栅可能是最普通的商品全息元件。一般来说，一个全息光学元件是用2个点光源记录的，其中平面波可认为是点光源位于无穷远的一种特例，通过实践证明，与传统的折射和反射元件相比，全息光学元件有着其独特的优点［1］，比如：提供一个“薄膜光学系统”，这意味着大孔径光学系统可以有较轻的质量；与传统的光学元件不同，全息光学元件的功能与底板的形状基本上没有关系，而与底板上的干涉条纹结构密切相关；一个单个的全息光学元件可以提供一个系统的功能，例如，一个集分光和成像为一体的全息透射光栅，可替代普通元件透射光栅与成像透镜。这种特性不仅可以简化光路，而且无鬼线，像差小，信噪比高。但是全息光学元件成像特性对工作波长比较敏感，有密切联系，在使用宽波段光束下，色散的校正尤为重要；同时在设计结构参数时，必须考虑全息光学系统的衍射效率；如果一个光学系统包含全息光学元件，设计时必须考虑2个光学系统，即使用光学系统和记录光学系统，为了校正不对称像差，系统中还必须使用偏心和倾斜透镜，因此增加了设计和加工难度。光谱仪器是研究、测定光辐射的频率、强度特性及其变化规律的光学仪器，是分析物质组成成分以及结构、测量溶液浓度、吸收率和透射率的一种有效工具。近年来，随着全息技术的发展，为我们提供了各种功能的低成本全息光栅，使得基于全息元件的光纤光谱仪成为可能。本文主要通过研究全息光学元件的高斯成像性质，包括光焦度、成像位置以及衍射效率等参数，设计了一款适用于教学的光纤光谱仪的全息光栅，并以此光栅为光谱仪的核心元件初步设计了光谱仪的光学系统。对该光学系统利用ZEMAX软件进行优化，消除主要像差，得到最终参数。

1 设计理论

以衍射和干涉理论为基础的全息透镜是一种非常有用的光学元件，可以同时具备普通透镜和棱镜的功能：首先，它像一块棱镜，可以使光轴发生偏转；其次，可以作为透镜，对物体成像。为提高衍射效率，常用的全息光学元件均采用离轴技术制造。根据全息光学元件的基本成像理论，离轴全息光学元件的基本坐标系如图1所示。Q是空间中任意一点，全息底板位于X-Y平面内，P是全息底板上的一点。假设从Q到底板中心的距离是Rq，Rq直线在Y-Z平面上的投影与X-Z平面的夹角是βq，与Rq直线的夹角是αq，那么Q点在该坐标系中可表示为（Rq，αq，βq），角标 R、O、C、I分别表示记录参考点、记录物点、再现点和像点。注意在讨论和分析全息光学元件时，记录物点往往是一束记录光束，与成像光学系统中的物体光束没有任何关系，而角标C所表示的光束特征才是使用光路中实际要分析的光束，根据全息光学元件的记录和成像几何图形，可以确定全息光学元件的高斯成像性质［1］：

图1 离轴全息光学元件基本坐标系Fig.1 Basic coordinate system of off-axis holographic optical element

式中：μ＝λCλO代表再现波长与记录波长之比，称之为波长变化因子；m是干涉条纹间隔在化学处理前后变化的比例因子，在理想状态下m＝1；±符号，当分析虚像时取正，分析实像时取负。如果再现光束完全是沿着记录过程中参考光束方向照射到全息光学元件上，那么，无论是透射型还是反射型全息光学元件，都会形成一个虚像，然而使用记录参考光束的共轭光束照射全息元件，那么再现光束方向恰好与记录参考光束的方向相反，在这种情况下得到的是实像。由于此光栅用于光谱仪的分光和成像，我们需要用CCD接收成像光束，所以，我们使用共轭参考光束再现。在设计光栅时，我们将记录物点和记录参考光放在X-Z平面上，且将记录物点设置在Z轴上，那么αO＝0，βO＝0，βR＝0，利用（1）式和（2）式便能得到物像关系。此外我们采用的记录光束，一束为球面波，一束为平面波，则RR＝∞，因为再现光为记录参考光的共轭光，所以RC＝∞。（1）式和（2）式可改写为

αI即为不同波长衍射光线在X-Z平面内的衍射角，又因为衍射角较小，所以有：

全息光学元件的焦距f（H）可由下式求出［1］：

R（H）为平行光入射时，其焦点即为记录点光源的实像，焦距与再现光的波长有关，对于同一个全息光学元件，再现光的波长越长，其焦距越小，再现光的波长越短，其焦距越大。F＃可以表示为

另一种表现形式，空间中任意点O，R，C，I有如下物像关系［1］：

若再现光为记录参考光的共轭光，参考点位于无穷远，且物点和参考点都位于X-Z平面上，则xc＝－xr，zc＝－zr，m＝1，取负号，那么就有如下关系式：

将（13）式代入（12）式便可得：tanθc（18）

因为记录物点在Z轴上，所以xo＝0，上式不同波长衍射角可表示为

（16）式说明光谱分布在与参考光平行的直线上，θc角为参考光与全息光栅平面法线的夹角，即与z轴的夹角：

式中：L为光谱在CCD接收面上的展开宽度；λ1，λ2分别为工作波长中最大和最小波长。

综上所述，在实际的光路设计中，主要涉及的元件及其参数如表1所示。光谱分布示意图如图2所示，其光路原理如图3所示。其中光源为点光源，准直透镜设为Paraxial，即为近轴面—有理想特性的薄透镜，将点光源放置在准直镜焦点上，平行光以一定角度入射到全息光栅上，入射的光线经过分光再聚焦在其焦平面上，焦平面与入射光平行。

表1 主要涉及的光学元件参数Table 1 Main parameters of optical elements

图2 光谱分布示意图Fig.2 Spectrum distribution diagram

图3 Zemax模拟基于全息元件的光纤光谱仪的光学原理图Fig.3 Optical schematic of fiber spectrometer based on holographic element simulated by Zemax

2 设计实例及分析

根据焦距及谱面展宽公式（7）和（19），以及光纤光谱仪整体体积所设计光栅参数：记录物点坐标O（0，0，40），记录参考点坐标R（0，－1.74E＋5，－1.0E＋6），点光源处于5m外可视为无限远，即平行光入射，模拟时记录物点发散，记录参考光汇聚。记录波长λo＝575nm，光栅孔径为10mm，使用＋1级衍射光。再现光即使用光路中的入射光与光栅夹角10°，狭缝宽25μm。平凸型准直镜焦距45mm，凸面曲率半径－24.49mm，厚度为3mm。按上述参数设计出的光学系统图及像质评价图如图4和图5所示。在光学平台上搭建光路，利用已研发完成的电路系统及光谱仪软件，针对汞灯光谱进行了试验，所获得的基于全息元件的测量光谱如图6所示，将实验结果与标准汞灯光谱比对，基本一致。

图4 光学系统渲染图Fig.4 Optical system rendering

图5 光学系统点列图Fig.5 Spot diagram of optical system

图6 汞灯光谱Fig.6 Spectrum of mercury lamp

分辨率的讨论：

在光谱仪光路设计中，分辨率是重要的参数。在计算中通常是通过成像弥散圆的大小来考虑的。由于分辨率的大小主要取决于光谱的展宽以及光谱在展宽方向的大小，也就是Y方向均方根半径的大小，并且考虑到实际入射光纤芯径的影响，理论上像斑的大小可以用点光源像斑大小加上孔径像尺寸来表示。设弥散斑最大的弥散圆半径是R点，光纤的芯径为φ，光栅物距L1，像距L2，则理论上的半径可表示为

在计算理论分辨率时，Rpoint取X方向上半径最大的像斑，而根据光谱展宽L和波长范围λ1～λ2及瑞利判据，若认为形状相同的2条谱线在空间相隔一个空间半宽度时刚好能够分辨，则光栅能分辨的最小波长间隔［4］可表示为

在本设计中，采用的光纤芯径为250nm，物距L1为无穷远，像距L2为50mm，所以理论上的R理论＝R点max，RMS随波长的变化关系如图7所示，最大RMS约为400μm，最小值为210μm，波长展宽L＝29mm，那么：

这里所说的是理论光栅分辨率，实际中考虑到装调误差会比理论低一些。由上可知，由于受到线阵CCD的限制，存在波谱范围宽而光谱谱面展宽较小的矛盾，宽工作光谱的分辨率较低。

图7 弥散斑径向RMS图Fig.7 RMS spot versus wavelength

若选用有效长度更长的线阵CCD，比如40mm，此时仍使用原记录波长，工作光谱范围仍为400nm～800nm，光栅焦距为55mm。则其光栅能分辨的最小波长：

若选用工作光谱范围480nm～650nm为了使光谱展宽为29mm，仍然使用575nm的记录波长，则光栅焦距为91.2mm。根据上述方法，可计算理论分辨率：

3 结论

本文通过对全息光学元件成像原理的研究分析，设计了一种基于平面透射全息光栅的微型光纤光谱仪的光学系统，通过ZEMAX软件的仿真和优化，得到最终参数：全息光栅的记录波长为575 nm，记录光束之间的夹角为10°，一束为平面波，一束为球面波，焦距40mm，使用＋1级衍射光，光栅孔径为10mm；光谱仪的工作波长范围为400nm～800nm，体积140mm×30mm×40mm，谱面展宽29.1mm。最后，在光学平台上搭建光路，利用已研发完成的电路系统及光谱仪软件，针对汞灯光谱进行了试验，光谱分辨率优于8nm，测量得到的汞灯光谱与标准汞灯光谱一致，表明了所设计的基于全息元件的光纤光谱仪光学系统是可行的。

但在实验中发现该光学系统仍存在以下几个问题：首先是零级衍射光较强，容易被CCD接收，产生干扰；其次透射平面全息光栅的1级衍射效率不高，使得所测汞灯的其中3条谱线强度较弱。

致谢：本研究工作受到了浙江师范大学信息光学研究所王辉教授与金洪震教授的大力支持，不仅对全息元件的理论研究方面给予了指导，并提供了全息光栅元件样品。在此表示衷心的感谢。

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