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三角代数的模糊滤子

2015-06-01罗敏霞

中国计量大学学报 2015年4期
关键词:模糊集等价代数

罗敏霞,潘 琼

(中国计量学院 数学与信息科学系,浙江 杭州 310018)

模糊逻辑起源于Zadeh 1973年提出的模糊推理思想[1].模糊逻辑是经典逻辑的一般化,模糊逻辑的命题演算系统中,公式不仅可以以0和1作为真值,也可以是在[0,1]上的值.ML逻辑是基于剩余格的逻辑系统[2],它是诸多模糊逻辑的基础,如Esteva和Godo的基于左连续三角范数的MTL模糊逻辑系统[3]是 ML逻辑系统的扩张,Hajek的基于连续三角范数的基本逻辑BL系 统[4-5]是MTL逻辑系统的扩张,著名的Lukasiewicz逻辑、Godel逻辑及乘积逻辑都是BL逻辑的扩张.这些逻辑的语义代数模型分别是剩余格、MTL-代数、BL代数、MV代数、Godel代数和乘积代数[6].Gasse等首先提出了三角代数的概念[7],三角代数等价于区间值剩余格IVRLs,被用来构造三角逻辑TL系统,是三角逻辑的语义代数模型.

在模糊逻辑理论研究中,逻辑代数的滤子发挥着非常重要的作用.文献[3]给出了 MTL-代数中滤子的定义,利用滤子证明MTL逻辑系统的完备性;文[8-9]给出 MTL代数模糊滤子的定义和等价刻画.Hájek在文献[4]中给出BL-代数滤子的定义,并证明了BL逻辑系统的完备性.Gasse等在文献[7]中引入三角代数的滤子概念,并使用滤子证明三角逻辑系统的完备性.

本文在三角逻辑的基础上给出三角代数的模糊滤子的概念,并研究其性质,进一步给出三角代数中滤子与模糊滤子之间的关系,从而可以为更好地研究三角逻辑提供完善的逻辑语义模型.

1 预备知识

定义1.1[4,11]一个代数结构 L=(L,∧,∨,⊗,→,0,1),如果满足下列条件:

1)L=(L,⊗,1)是一个可换独异点;

2)L=(L,∧,∨)是一个有界格;

3)x⊗y≤z⇔x≤y→z;

则称L=(L,∧,∨,⊗,→,0,1)是一个剩余格.

命题 1.1[4]在一个剩余格中以下结论成立:

我们定义x*=∨{y∈L|x⊗y=0}等效于x*=x→0,以及

定义1.2[7]格L=(L,∧,∨,⊗,→,ν,μ,0,u,1)称为三角代数,其中(L,∧,∨,⊗,→,0,1)是一个剩余格,ν,μ是一元运算符,u是一个常数,如果满足以下条件:

定义1.3[10]设格L=(L,∧,∨,⊗,→,ν,μ,0,u,1)是三角代数,L中的一个元素x 被称为准,如果νx=x,L的确切元素的集合记作E(L).

定理1.2[7]在一个三角代数L=(L,∧,∨,⊗,→,ν,μ,0,u,1)中,蕴含→和⊗完全由E(L)上的作用和μ(u⊗u)的值来定义,具体为:

定义1.4[10]设L=(L,∧,∨,⊗,→,ν,μ,0,u,1)是一个三角代数,L的一个非空子集F称为L的一个滤子,如果满足

命题1.3 设L=(L,∧,∨,⊗,→,ν,μ,0,u,1)是一个三角代数,F是L的一个非空子集,则F是L的滤子当且仅当

证明:设F是满足(4)和(5)的L的非空子集,设x,y∈L,使得x≤y且x∈F,通过(4)可得到x→y=1∈F,由(5)得到y∈F,所以(1)是成立的.设x,y∈F,则x→(y→(x⊗y))=(x⊗y)→(x⊗y)=1∈F,从(5)中隐含表明x⊗y∈F,因此(2)成立;设x,y∈F,有ν(x⊗y)=νx⊗νy∈F,则由x→(y→x)=1得νx→(νy→νx)=(νx⊗νy)→νx=1∈F.由(5)得νx∈F,因此(3)成立.

反之,假设F是L的一个滤子,显然由(1)得1∈F,设x,y∈L使得x∈F并且x→y∈F,由(2)得x⊗(x→y)∈F,利用y≤(y→x)→x有x≤(x→y)→y,即x→((x→y)→y)=1=(x⊗(x→y))→y=1,即(x⊗(x→y))≤y,由(1),因此(5)成立;由(2)和(3)显然(6)成立.

2 模糊滤子与滤子的关系

定义2.1 设L是一个三角代数,L中的一个模糊集w称为L的一个模糊滤子,如果它满足条件:

例1 设L=[0,1],定义运算⊗与→如下:

对所有的x,y∈L,则L就是三角代数.

根据三角代数的模糊滤子的定义,进一步研究模糊滤子的等价刻画.

定理2.1 设w是三角代数L的一个模糊集,则w是L的一个模糊滤子当且仅当

证明:假设w 满足条件(7)和(8),设x,y∈L使得x≤y,则x→y=1,所以由条件(7)和(8)得到w(y)≥min{w(x),w(1)}=w(x),因此(c2)是成立的.利用命题1.1的(1),可知x→(y→(x⊗y))=(x⊗y)→(x⊗y)=1,于是根据条件(7)和(8)我们有

因此(c1)是成立的.根据条件(7)和(9)可得:

即(c3)是成立的.假设w是L的一个模糊滤子,当对所有的x∈L,x≤1,则由(c2)得到对所有的x∈L有w(1)≥w(x).由定义1.2的(8)以及伽罗佤对应我们可知ν(x→y)≤νx→νy⇔ν(x→y)⊗νx≤νy,因此由(c2)和(c3)可得 w(νy)≥w(νx⊗ν(x→y))≥min{w(νx),w(ν(x→y))},证毕.

进一步研究三角代数中滤子与模糊滤子之间的关系,证明三角代数中模糊滤子与滤子的相互诱导.

定理2.2 设F是三角代数L的一个滤子,且a∈L,w是L的一个模糊集

则w是L的一个模糊滤子.

证明:已知a∨1∈F,我们有1∈{z∈L|a∨z∈F}和对所有x∈L得到w(1)=1≥w(x),现在如果y∈{z∈L|a∨z∈F},那么可以清楚地得到w(y)=1≥min{w(x),w(x→y)}.假设y∉{z∈L|a∨z∈F},那么存在x和x→y至少其中一个不属于{z∈L|a∨z∈F},于是w(y)=min{w(x),w(x→y)}.同样如果νy∈{z∈L|a∨z∈F}则可清楚地得到w(νy)=1≥min{w(νx),w(ν(x→y))},假设νy∉{z∈L|a∨z∈F},那么存在νx和ν(x→y)至少其中一个不属于{z∈L|a∨z∈F},于是w(νy)=min{w(νx),w(ν(x→y))},因此w是L的一个模糊滤子.

定理2.3 如果w是L的一个模糊滤子,那么对于每一个a∈L,集合Ωa={x∈L|w(x)≥w(a)}是L的一个滤子.

证明:已知对所有x∈L有w(1)≥w(x),我们有1∈Ωa,设x,y∈L使得νx∈Ωa和ν(x→y)∈Ωa,那么就有w(νx)≥w(a)和w(ν(x→y))≥w(a).已知w是L 的一个模糊滤子,从(8)可得w(νy)≥min{w(νx),w(ν(x→y))}≥w(a);又因为w(y)≥w(νy),w(x→y)≥w(ν(x→y)),所以(x→y)∈Ωa,w(y)≥w(a)以及 w(ν(x⊗y))≥min{w(νx),w(νy)}≥w(a),所以y∈Ωa且ν(x⊗y)∈Ωa,因此Ωa是L的一个滤子.

3 结 语

本文在三角代数滤子定义的基础上给出了滤子的等价刻画,进一步引入三角代数中模糊滤子的概念,给出模糊滤子的等价刻画.特别研究三角代数中模糊滤子与滤子之间的关系,证明了模糊滤子与滤子可相互诱导.

[1]ZADEH L A.Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes[J].IEEE Transactions on Systems,Man Cybernetics,1973,3(1):28-44.

[2]HOHLE U.Monoidal logic[C]//Fuzzy systems in computer science.Germany:Vieweg+ Teubner Verlag,1994:233-243.

[3]ESTEVA F,GODO L.Monoidal t-norm based logic:towards a logic for left-continuous t-norms[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,124(3):271-288.

[4]HAJEK P.Metamathematics of Fuzzy Logic[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1998:29-48.

[5]HAJEK P.Basic fuzzy logic and BL-algebras[J].Soft Computing,1998,2(3):124-128.

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[7]GASSE B V,COMELIS C,DESCHRIJVER G,et al.Triangle algebras:A formal logic approach to interval-valued residuated lattices[J].Fuzzy Sets and Systems,2008,159:1042-1060.

[8]JUN Y B,XU Y,ZHANG X H.Fuzzy filters of MTL-algebras[J].Information Sciences,2005,175:120-138.

[9]KIM K H,ZHANG Q,JUN Y B.On fuzzy filters of MTL-algebras[J].Journal of Fuzzy Mathematics,2002,10(4):981-989.

[10]GASSE B V,COMELIS C,DESCHRIJVER G,et al.The pseudo-linear semantics of interval-valued fuzzy logics[J].Information Sciences,2009,179:717-728.

[11]TURUNEN E.BL-algebras of basic fuzzy logic[J].Mathware and Soft Computing,1999,6(1):49-61.

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