葛秀华

求解数学题的关键在于准确快速地找到一个容易攻克的突破口， 以此作为解题的切入点，由点及面，逐步解决所有问题.這需要在分析题目的已知条件和所求问题特征的基础上，正确寻找一个切入点，那么，如何寻找解题的切入点呢？本文通过实例，谈谈如何有效地寻找解题的切入点.

看条件——追根究底挖隐含

条件是题目构成的主要部分，也是我们解题的主要依据，所以要仔细阅读题目，理解题意，明确题目给出了什么条件、包含什么隐含信息，这些条件与所解决的问题之间有什么关系，然后充分利用条件之间的内在联系，挖掘条件的内涵与隐含信息，并进行合理的推测与分析、转化，从而找到解题的切入点.

例1 已知函数[f（x）=22x+1+sinx]，则[f（-2）+][f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=] .

解析 因为[f（x）=22x+1+sinx]，

所以[f（-x）=22-x+1-sinx=2?2x2x+1-sinx]，

故[f（x）+f（-x）=2].

则有[f（2）+f（-2）=2，f（1）+f（-1）=2].

而[f0=220+1+sin0=1]，

所以[f（-2）+][f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=5].

答案 5

点拨 通过已知条件找到[f（-x）]，进而得到[f（x）+f（-x）][=2]，抓住这一切入点是解题的关键.这恰恰就是同学们很难取得突破的关键之处.

看结论——等价转换寻方案

结论是解题的归宿，审视题目结论，思考问题就有了目标，解题就有了方向.解题时利用所学知识找寻条件与结论的联系.

例2 已知函数[f（x）=12x2+alnx].

（1）若[a=-1]，求[f（x）]的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若[a=1]，求[f（x）]在[[1，e]]上的最大值和最小值；

（3）若[a=1]，求证：在[[1，+∞）]上，[f（x）]的图象在函数[g（x）=23x3]的图象的下方.

分析 求函数[f（x）]的极值[→]求导函数[f（x）=0]的解，即函数[f（x）]的极值点[→]将极值点代入[f（x）]求对应的极值[→]求[f（x）]在[[1，e]]上的单调性[→]比较端点值、极值，确定函数[f（x）]的最值[→]构造新函数[F（x）=f（x）-g（x）][→]研究函数[F（x）]在[（1，+∞）]上的单调性.

解 （1）由于函数[f（x）]的定义域为[（0，+∞）]，

当[a=-1]时， [f（x）=x-1x=（x-1）（x+1）x].

令[f（x）=0]得[x=1]或[x=-1]（舍）.

当[x∈（0，1）]时 ， [f（x）<0]，即函数[f（x）]在（0，1）上单调递减.

当[x∈（1，+∞）]上， [f（x）>0]，即函数[f（x）]在[（1，+∞）]上单调递增.

所以当[x=1]时，[f（x）]取极小值，极小值为[f（1）=12]，无极大值.

（2）当[a=1]时，函数[f（x）]在[[1，e]]上为增函数，

[∴f（x）min=f（1）=12，f（x）max=f（e）=e2+22].

（3）设[F（x）=f（x）-g（x）=12x2+lnx-23x3]，

则[F（x）=x+1x-2x2=（1-x）（1+x+2x2）x].

当[x∈（1，+∞）]时，[F（x）<0]，故函数[F（x）]在[（1，+∞）]上是减函数且[F（1）=-16<0]，

故在[（1，+∞）]上，函数[F（x）<0]恒成立，即[f（x）

所以在[[1，+∞）]上，函数[f（x）]的图象在函数[g（x）=23x3]的图象的下方.

点拨 （1）导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间的关键是求不等式的解集. 最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小. 参数问题涉及的最值恒成立问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用.（2）对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成熟知的导数来研究.

看数据——根据数值找联系

数据是数学运算中最基本的单元，数据之间的关系往往能暗示解题的方向，审视数据要善于观察、分析数据，从它们之间的关系中去寻找解题的思路.

例3 求值：[cos20°cos35°1-sin20°=]（ ）

A. 1 B. [2]

C.[2] D.[3]

分析 先利用二倍角的正、余弦公式把[cos20°]以及[1-sin20°]转化，再利用辅助角公式与诱导公式化简即可.

解 [cos20°cos35°1-sin20°=cos210°-sin210°cos35°1-2sin10°cos10°]

[=cos210°-sin210°cos35°（cos10°-sin10°）=cos10°+sin10°cos35°]

[=222cos10°+22sin10°cos35°]

[=2sin55°sin55°=2].

答案 C

点拨 本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.灵活运用数据之间的关系，寻找各角的关系是解题的关键.

看结构——特殊结构助解题

数学问题中的条件和结论，很多都是以代数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到解决问题的切入点.

例4 已知数列[an]的前[n]项和是[Sn]，[Sn=2an-1][n∈N*].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）若数列[bn]满足[bn=2n?an]，求数列[bn]的前[n]项和[Tn]；

（3）若数列[cn]满足[cn=3n+2-1n-1?λ?an]（[λ]为非零常数），确定[λ]的取值范围，使[n∈N*]时，都有[cn+1>cn].

解析 （1）当[n=1]时，[a1=S1=2a1-1，∴a1=1].

又[Sn+1=2an+1-1]与原式两边分别相减得，

[an+1=2an+1-2an，即an+1=2an].

所以数列[an]是以1为首项，2为公比的等比数列，

则[an=2n-1].

（2）因为[bn=2nan=n?2n]，

所以[Tn=2+2?22+3?23+…+n?2n，]

[2Tn=22+2?23+3?24+…+n?2n+1]，

两式相减得[-Tn=2+22+23+…+2n-n?2n+1]

[=2-2n+11-2-n?2n+1=1-n?2n+1-2]，

所以[Tn=n-1?2n+1+2].

（3）∵[cn=3n+2?（-1）n+1?λ?2n-1][=3n+（-1）n+1?λ?2n]，

∴[cn+1>cn]，

即[3n+1+（-1）n+2?λ?2n+1>][3n+（-1）n+1?λ?2n].

即[3n+1-3n+（-1）n?λ?2n+1+（-1）n?λ?2n>0]，

即[2?3n+（-1）n?3λ?2n>0].

∴[（-1）n?λ>][-2?3n3?2n]，即[（-1）n?λ>][-（32）n-1].

当[n]为偶数时，[-（32）n-1≤][-32]，∴[λ>-32].

当[n]为奇数时，[-（32）n-1≤][-1]，∴[-λ>-1]，即[λ<1].

又∵[λ≠0].

∴[-32<λ<1]且[λ≠0].

点拨 一般遇到数列的前[n]项和与通项之间的递推关系时，通常先转化为单一的通项之间的递推关系再进行解答. 对于数列求和问题，常从通项公式特征判断求和思路.

看图象——数形结合探思路

图象是数学问题的几何形式，审视图象要把握图象的本质特征，或赋予问题中的某些代数关系以几何意义，借助图象作出分析，从而提供解题途径.

例5 设平面点集[A={（x，y）|（y-x）（y-1x）≥0}，][B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}]，则[A?B]所表示的平面图形的面积为 .

分析 由题意知，集合[A，B]具有几何特征，可先作出集合A、集合B对应的图象，利用图象进行分析.

解 由[（y-x）（y-1x）≥0]可知，

[y-x≥0，y-1x≥0，]或[y-x≤0，y-1x≤0.]

在同一坐标系中作出两个集合所表示的平面区域（如图）.

由图象可知，[A?B]对应的区域为阴影部分.

根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为[π2].

点拨 突破本题的关键是，要抓住图象的特点，根据图象分析，则可快速解答.

看特征——类比联想定方法

要善于抓住题目中数、式子的关键特征进行联想，“是否做过一个与你现在的问题有关，且已解决过的问题”、“如何把不熟悉的问题转化为熟悉的问题”、“课本上的习题或往年高考题是否有类似的影子”.通过联想，确定解题的思路和方法.

例6 函数[f（x）=x-1-alnx（a<0），]且[?x1，x2∈（0，1]，]都有[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|]，求实数[a]的取值范围.

分析 对条件中的数学式子[|f（x1）-f（x2）|][≤4|1x1][-1x2|]如何进行转化是本题的关键. 难点是式子中含有绝对值符号，联想我们已经熟悉的变形，[|f（x1）-f（x2）|≤][f（x）max-f（x）min]，但不等式右边是含变量[x1，x2]的式子，至此思路受阻.那么如何调整呢？关键是先去掉绝对值符号再想办法转化.

解 由[x1，x2]的对称性，不妨设[0

而函数[y=1x]在[（0，1]]上是减函数，

则[|f（x1）-f（x2）|=f（x2）-f（x1）]，[|1x1-1x2|=1x1-1x2]，

所以[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|]

[?f（x2）-f（x1）≤4（1x1-1x2）].

整理得，[f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1].

构造函数[h（x）=f（x）+4x≤x-1-alnx+4x] ，

则[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|?]函数[h（x）]在[x∈（0，1]]上是减函数.

[∴h（x）=1-ax-4x2=x2-ax-4x2≤0]在[x∈（0，1]]上恒成立，即[a≥x-4x]在[x∈（0，1]]上恒成立，即[a≥-3].

又[a<0]，所以[a∈[-3，0）].

点拨 本题的关键是[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|][?f（x2）-f（x1）≤4（1x1-1x2）][?f（x2）+4x2|≤f（x1）+4x1?]函数[h（x）]在[x∈（0，1]]是减函数.