李秀兰

函数的概念是学习函数的基础，函数是高中数学的核心内容。让我们一起来了解“函数”吧。

一、函数的概念，精彩纷呈

设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中郁有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记作y=f（x），x∈A，其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域。

需要注意的是：（1）函数y=f（x）也经常写作函数f（x），在函数关系式中，函数的定义域为全体实数时可以省略不写，如函数y=2x+l（x∈R）往往写成y =2x+1。（2）对y=f（x）即“y是x的函数”的理解：x是自变量，它是对应法则所施加的对象，f是对应法则，它可以是一个或几个代数式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为该自变量值相对应的函数值。

例1 下列对应是从A到B的函数的是____。

（1）A=R，B={x|x>0}，对应法则f：x→|x|。

（2）A=Z，B=N，对应法则f：A→B，求平方。

（3）A=Z，B=Z，对应法则f：A→B，求算术平方根。

（4）A=[-2，2]，B=[-3，3]，对应法则f：A→B，求立方。

解：可结合函数的定义来判断。

（1）不是函数，A中的元素0在B中没有元素与它对应。

（2）是函数，符合函数的定义。

（3）不是函数，A中的负数没有算术平方根，可知B中没有元素与它对应。

（4）不是函数，集合A中的元素2，求立方后不在集合B中，可知在B中无元素与它对应。

答案为（2）。

评注：判断一个对应关系是否为函数关系，除构成对应的两个集合是数集外，更重要的是判断任意给定的x值是否有唯一的y值与之对应，即“取元的任意性，取值的唯一性”，这是判断一个对应关系是函数关系的重要依据。

二、函数的定义域，理解是关键

函数的定义域主要是通过解不等式（组）来获得的，若不加以说明，所谓函数的定义域就是使函数表达式有意义的输入值的集合。

例2 求下列函数的定义域：

评注：求函数的定义域往往需要将问题转化为解不等式或不等式组。函数的定义域可以用集合表示，也可以用区间表示。

例3 （1）已知函数f（x）的定义域为[1，3].求函数f（2x+1）的定义域。

（2）已知函数f（2x+1）的定义域为[1，3]，求函数f（x）的定义域。

解：本题属于复合函数的定义域问题。若函数y=f（t），t=g（x），则称函数y=f[g（x）]为复合函数，而该函数的定义域是由y=f（t），t=g（x）共同决定的，可认为在对应法则f的作用下，g（x）是在y=f（t）的定义域内取值的。

（1）函数f（x）的定义域为[1，3]，即x∈[1，3]

函数f（2x+1）中的2x+l的范围与函数f（x）中的x的范围相同，则l≤2x+1≤3，即0≤x≤1，可得f（2x+1）的定义域为[0，1]。

（2）由x∈[1，3]，可得2x+1∈[3，7]，即函数f（x）的定义域是[3，7]。

评注：在解决上述问题中要注意作用对象的范围，从而正确求出函数的定义域。