杜水淼

【摘 要】非线性系统辨识是结构动力学的一项重要研究内容。在复杂的广域频率系统中，针对全部未知参数的可追踪性会随着系统自由度的增加而急剧衰减。为了解决此类问题，通常根据所研究系统的几何参数和动力学特性建立近似结构模型，然后应用模态校正法对近似模型的参数进行整定。对此，提出了一种基于灵敏度分析的模态拟合算法，综合了系统留数灵敏度分析和模态拟合灵敏度分析的优势，能够有效地处理具有强烈非线性参数影响的模态拟合问题。在某型号发动机护板模型参数辨识问题中进行了仿真应用，结果显示在中低频范围内该方法具有良好的应用效果。

【关键词】 参数辨识 灵敏度 模态拟合 非线性

0引言

模态校正方法的核心在于校正参数的正确选取和模态的有效拟合[1]。Maia[2]等提出了一种基于频响模型灵敏度分析的动态刚度矩阵参数校正方法； kozak[3]等提出了模态欠拟合最小化校正法，该方法利用频响函数来代替模态数据，通过优化模态欠拟合指数来实现参数的整定；在针对病态的、具有强烈噪音信号的系统参数校正，Ahmadian[4]等提出了一种正交化优化方法来实现参数的合理选取和模态的有效拟合。

1 灵敏度分析

大型复杂系统通常具有大量的未知参数，但并非所有的未知参数都需要整定。针对待整定参数的选取应该遵循两个基本的标准： 一是该参数具有可见性，即真实模型对该参数是”敏感”的；二是该参数与其他参数对真实模型的影响具有可区分性。对模型进行灵敏度分析可以有效地实现以上目标。常见的灵敏度分析方法有传递函数灵敏度分析，积分形式的灵敏度分析，直接近似灵敏度分析和伴随状态灵敏度分析方法等。通过模态分解，系统对参数的灵敏度可以表示为：

（1）

其中，p为待整定参数，φ和ω为各阶实验模态及其频率，b和c分别为系统输入矩阵和观测矩阵。需要注意的是，随着系统自由度的增多，对所有模态进行一一计算是不可行的，需要在指定频域内进行模态截取并在误差允许的范围内进行静态修正。

2 基于灵敏度分析的模态拟合方法

模态校正辨识法的主要思路是比较实验模型（视为真实模型）与FEM模型之间的误差，通过待整定参数的调节来使误差最小化，从而达到参数辨识的目的。由于FEM模型的求解会产生无法预知的非物理模态或局部模态，因此并非FEM模型与实验模型的所有模态都是可比较的。针对这一问题的解决办法是在指定频域内进行模态拟合。现有的模态拟合标准除了常用的模态确定准则（MAC）以外，还有在此基础上演化出来的坐标确定准则（COMAC）和模态确定性贡献准则（MACCO）。基于灵敏度分析的模态拟合方法综合了灵敏度分析与模态欠拟合指标法，能够有效地实现具有非线性参数影响下的模态拟合。其核心思想是在每一个载荷步，对模态欠拟合函数依据未知参数进行线性化处理，迭代求解直至收敛。经过线性化后约束方程可表示为[3]：

（2）

该方程在每个自由度上展开可得线性方程：

（3）

其中s为拟合指数灵敏度矩阵。需要注意的是，尽管拟合指数的灵敏度函数具有解析形式，但是在实际应用中通常利用微扰法进行数值计算。

3 在非线性系统参数辨识中的应用

本文研究以上方法在某型号发动机护板参数辨识中的应用。该发动机护板实验模型由具有10%随机噪音的FEM模型代替，待整定参数的FEM模型具有16844个自由度，74898个元素和29652个节点，材料为铝合金AG11。

对降阶模型进行参数灵敏度分析，可以选择待整定参数并确定其近似值（见图 1），进而建立系统的近似模型。灵敏度分析结果显示本应用中待定参数可选为连接刚度和扭转刚度。本例中的灵敏度分析通过模态分解法实现，降阶模型由一系列不依赖于待整定参数的模态基构成，仿真结果显示，使用多模态基构建的降阶模型进行灵敏度分析结果更加准确。

图 1参数灵敏度分析

依据模型对各个参数的灵敏度，确定参数校正的载荷步长。在每一个载荷步内，计算系统在各个模态的MAC值并依据式（2）和式（3）进行迭代求解直至达到预定的收敛条件，此时的模型即为得到校正的模型（见图 2）。

图 2校正前后的系统模态比较

结果显示，在中低频范围内，系统校正效果非常好。在超高频范围内，该方法尚不能完全适用，原因是高频区间存在的大量虚假模态和局部模态干扰了模态拟合的结果，出现了某一个真实模态对应多个数值模态或多个真实模态对应某一个数值模态的情况。为了避免此类干扰的出现，需要在模型构建初期进行相关处理以消除局部模态的产生，该部分不是本文的研究内容。

4 结论

针对系统进行灵敏度分析可以快速有效地选择待整定参数并确定其取值范围，针对模态拟合指数进行灵敏度分析可以有效地处理具有强烈非线性参数影响的模态拟合问题。本文提出了一种基于灵敏度分析的模态拟合算法并以某型号发动机护板的参数辨识为应用实例，成功实现了FEM模型的校正和参数的整定。仿真结果显示，该算法在中低频范围内的应用取得了良好的效果，因而在实际工程上具有一定的指导意义。

参考文献

[1]Kerschen， G.， Worden， K.， Vakakis， A. F.， & Golinval， J. C. （2007）.Nonlinear system identification in structural dynamics： current status and future directions. In 25th International Modal Analysis Conference.

[2]Maia， N. M. M.， & e Silva， J. M. M. （Eds.）. （1997）.Theoretical and experimental modal analysis （pp. 480-488）. Taunton： Research Studies Press.

[3]Kozak， M. T.， ?ztürk， M.， & ?zgüven， H. N. （2009）. A method in model updating using Miscorrelation Index sensitivity. Mechanical Systems and Signal Processing，23（6）：1747-1758.

[4]Ahmadian， H.， Friswell， M. I.， & Mottershead， J. E. （1998）. Minimization of the discretization error in mass and stiffness formulations by an inverse method. International Journal for Numerical Methods in Engineering，41（2）：371-387.