☉江苏省金湖县实验初中 高峰

参与过程设计优化学习策略
——以《平行四边形的判定（1）》教学为例

☉江苏省金湖县实验初中 高峰

一、基于参与过程设计的教学分析

“平行四边形的判定方法（1）”是苏科版（2014年版）《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第九章第3节“平行四边形（2）”的一个重要内容.由于《义务教育数学课程标准（2011年版）》的出版，平行四边形的判定的内容将3个判定一起出现修改为分两次出现，并增加了完整的证明过程，但是对3个判定的呈现方式没有改变.本课内容是平行四边形判定的第一课时，主要是探索“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”两个判定，对此教材设计了如下两个活动.

活动1：思考：在方格纸上画两条互相平行且相等的线段AD、BC，连接AB、DC.你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗？

通过本活动，可使学生经历操作、探索、猜想、证明，从中体验通过实验可探索结论，获得猜想，但是猜想需要再通过推理进行证明，使学生掌握解决问题一般的思维过程和基本套路，感受合情推理与演绎推理都是人们正确认识事物的两个重要途径，它们是相辅相成，缺一不可的.

活动2：交流：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论.

通过活动2，可使学生感受到可通过演绎推理去直接探索结论的思考方法，提升演绎推理的能力.

修订后的编排不仅传承探究学习的价值，体现“做数学”的理念，而且为学生经历过程给予更多的体验的时间.

那么如何将这个优秀的教学资源转化为优秀教育形态的数学教学呢？需要思考以下两个问题：首先，要让学生知道这两个活动涉及的问题是怎么产生的，能否自己去发现；其次，让学生明白这个活动是怎么来的，为什么这两个活动的方式不相同，能否让学生自主去针对问题设计探究方法，转化问题，即如何让学生经历过程的设计，掌握学习研究问题的策略.

如果教师直接按照课本上的编排出示这两个活动，学生必然会感觉突兀，学生不能理解为什么要进行这两个活动，以及这两个活动是如何来的，那么在离开老师的引导后，学生还能否自主提出这样的问题进行探究还是个未知数，这时学生获得的只是“结论”，缺乏对“过程与方法”的深刻感受，所以需要教师适当“补白”，去引导学生体会.

基于此，本节课的活动设计为：（1）引导学生回顾以前学过的几何图形研究的内容，明确本节课要研究的内容；（2）回顾以前学过的几何图形的性质与判定之间的关系，通过类比根据平行四边形的性质去探究平行四边形的判定方法的猜想；（3）引导经历类比猜想、特殊操作去验证猜想，最后证明猜想的一般性，理解对猜想进行证明的必要性，提升演绎推理的能力，培养发现问题和提出问题的能力，学会运用数学的思维方式进行思考，掌握研究几何图形的“基本套路”.

二、基于教学分析的活动设计

第1阶段：借助“先行组织者”明确研究的对象和方法

问题1：方格纸是我们常用的探究工具.请在你手里的方格纸上画一个平行四边形，注意：不要画成长方形和正方形，尽量多画几种，然后说一说你这样画的理由？

设计意图：去掉了教材中的要求“两条互相平行且相等的线段AD、BC，连接AB、DC”，让学生的思维有一个自主建构的过程.因为学生在画图时，一般就是画图，他们不会先思考我们要怎样才能画出图形，实际就是先要确定在什么条件下才能得到平行四边形，也就是平行四边形的判定是什么？同时明确本节课研究的内容.

这时不管学生是否画出图形，说出理由，学生都能体会到，前面自己的操作是盲目的，应该先思后做，这样思维就经历了一个从无到有的过程，对这一策略（先思后做）就会有一定的认识，教师再进行适当点拨，亲身经历过后，方能形成经验.

问题2：研究新问题，我们先回忆一下相关的旧知识.我们前面已经研究了平行四边形的哪些内容？请同学们回忆一下，并结合图形进行阐述.

设计意图：通过回忆平行四边形的概念和性质，进一步加深对概念和性质的理解与应用，为研究平行四边形的判定做铺垫.同时引导学生进一步回忆研究几何图形的“基本套路”：用适当的方法产生若干具有代表性的图形→用抽象、概括的方法得出它们的本质并下定义→用特殊到一般的合情推理的方法猜想性质和判定→用演绎推理的方法证明猜想并用数学语言表示性质→用图形的相关知识解决具体问题.这个“基本套路”在前一节课时就明确过，并要求学生掌握.同时，培养学生运用已有的经验解决新问题的习惯.

第2阶段：借助“挑战性问题”探究平行四边形的判定

问题1：请你写出一些与平行四边形的判定有关的猜想命题，请说说你是如何得到的？你选择其中哪些命题作为首先研究的目标，并说明你选择它们的理由？

设计意图：让学生充分经历猜想的产生过程，知道通过研究性质的逆命题可以获得判定.同时，在写逆命题时，由于原命题的结论不止一个，那么在选择条件时，能自主地通过反例排除一些容易排除的假命题，能按一定的规律去寻找逆命题，提升数学思维能力，形成一定的思考套路.

先让学生自主探究，然后引导学生在书写逆命题时，可以先从性质的结论中选一个作为条件，然后利用反例进行否定，接着从性质的结论中选两个作为条件，而选择时可以先从“纯元素”和“纯关系”入手，如都是边，都相等，然后“纯元素”和“混关系”，如都是边，可以平行和相等，有序进行思考.通过交流不断地进行思维调整，促进学生思维不断的优化，形成自觉的分类意识，即当遇到研究对象不唯一确定时，可按照一定的标准分类进行.最后通过对写出逆命题进行分析，选择一些条件简洁的命题进行真假探究.

问题2：前面我们通过特殊猜想获得结论，然后用演绎推理证明结论.有时，我们可以直接通过演绎推理的方式获得结论.下面通过它来探究命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的正确性.

在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论.

设计意图：进一步体验演绎推理的作用，通过鼓励学生进行不同证明思路的交流和讨论，不断发展学生的有条理的思考和有条理的表达能力.

有了前面的活动，本活动的进行，学生一般不会有困难，教学中鼓励学生用不同的思路进行交流和讨论，培养学生思维的灵活性.

第3阶段：借助“代表性问题”尝试有关知识的应用

问题1：如图1，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，AE=CF.四边形DEBF是平行四边形吗？为什么？

设计意图：本题是课本例题，比较简单，方法较多，学过的判定都适用，通过本题的探究可以更好地理解它们.

图1

先让学生独立思考，提醒学生尝试用不同的方法，交流时引导学生进行方法比较，体会不同方法的特点，培养优化选择方法的意识，提升优化选择方法的能力.最后引导学生分析证明途径，提高分析能力.

在交流的过程中教师可引导：题目中有哪些图形？你能确定它们的形状或关系吗？四边形DEBF中有哪些条件，还需要什么条件？有几种方法？

问题2：如图2，AD∥BC，AD= BC，点E、F分别在AD、BC上，AE= CF，连接BE、DF、CE、AF.图中有哪些四边形是平行四边形？说说你的理由.

设计意图：本题是问题1的拓展，进一步加深对“图1”的基本认识，培养学生自觉地利用“旧”问题解决“新”问题的能力，同时培养分解图形的能力.

先让学生独立思考，然后交流，引导学生分析问题2与问题1的联系并对问题中的引导问题进行思考，并要求学生针对本题，再提出一个新的结论.

图2

第4阶段：借助“探索性问题”进行反思与总结

问题1：请再从与平行四边形的有关命题中选择一个真命题并进行证明，选择一个假命题，举反例予以说明.

设计意图：本问题既可以让学生再一次回顾探究平行四边形判定的步骤，以及应用已经确定的判定解决问题，加深知识和方法的理解.可引导学生回到第2阶段的问题1，和学生一起选择两个命题进行探究.

问题2：探究平行四边形判定的步骤是什么？你在学习过程中感受了哪些数学思想？有何数学活动经验？

设计意图：让学生熟悉研究某类问题的“基本套路”，学会数学地思考问题，培养学生自觉地总结数学思想方法和活动经验的意识，为研究下面的内容做铺垫.

三、基于参与活动设计的教学思考

“教学价值是教学设计的灵魂”，我们常常忽视这个数学教学的本质问题.它体现在方法论、价值观层面上的追求，数学教学的价值不仅仅是教技术、教方法和教技巧，而且还是教发现，培养问题意识，教研究问题的思维方式、解决问题的基本策略及体会数学教育的智慧价值，学会数学的思维方式.

让学生参与过程设计，就是为了让学生掌握问题的产生过程，活动设计的一些方法，研究问题的一些基本套路，最终学会数学地思考，优化学习策略，学会学习，学会研究，促进学生学习的可持续发展，培养终身学习的能力.

1.参与过程设计是让学生体验问题是如何发现的

当前的课堂倡导以问题情景引导探究，于是课堂上教师抛出一个个精心设计的数学问题，学生在问题的指引下进行自主或合作探究.但是谁想到过，如果没有教师的设问，学生能发现这些问题吗？还能进行探究吗？学生只是觉得教师是一个魔术师.我们是否思考过，这些问题是否能尝试引导学生去发现并提出来呢？

本节课首先从在方格纸中画平行四边形，在部分学生不知道怎么画和部分学生糊里糊涂画出，引导学生提出问题“什么条件下的四边形是平行四边形”，接着引导学生提出问题“如何根据性质得到判定猜想”，最后引导学生提出“如何验证与证明猜想”，这些问题不是教师直接提出，而是先设计一些相关活动让学生产生疑惑，然后师生一起归纳出来.通过参与问题产生的过程，学生的问题意识才会形成，有疑才能问，先要设计相关活动让学生有疑，然后师生一起分析、提出问题，只有长期经过这样的训练，学生提出问题的能力才能提高.

2.参与过程设计是让学生明白几何探究基本套路

其实几何研究是有一些基本不变的模式，即基本套路，按照套路进行，可以使思维更加有序，能获得启发.研究几何图形的“基本套路”：（1）用适当的方法产生若干具有代表性的图形；（2）用抽象、概括的方法得出它们的本质并下定义；（3）用特殊到一般的合情推理的方法猜想性质和判定，用演绎推理的方法证明猜想并用数学语言表示性质；（4）用图形的相关知识解决具体问题.这个“基本套路”要在每一章的第一节课时就向学生明确，并要求学生掌握.如果教师能够在研究平行四边形的相关知识时，不断地渗透这些套路，那么在后面研究其他特殊平行四边形时，完全就可以放手让学生自己去完成，达到事半功倍的效果.

3.参与过程设计是真正经历过程

“数学课程不仅包括数学的结果，也包括结果的形成和蕴含的数学思想方法”.这意味着“过程”是数学课程内容的有机组成部分.依据知识的逻辑体系构建，解析知识的形成过程与形成方法，知识之间的互相关系，知识的数学本质，以及认知所需要的必要条件和支持性等方面，对教学材料进行分析，依据数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律设计教学程序，构建教学结构.这是一个自然、简单、动态、和谐的数学教育过程，能使学生经历完整的数学思考过程.运用“教师先组织学生进行有价值问题指导下的有适度指导的自主学习基础上的合作学习，教师再进行必要的示范、讲解、归纳或总结”的适度开放式的教学方法.

本节课的教学价值不仅仅是学生用方格纸画图验证猜想和证明两个判定，而是学生根据研究几何图形“基本套路”，要知道猜想怎么来，如何对待猜想，如何利用特殊情形验证猜想，了解猜想的可信度，通过演绎推理进行证明.

本节课从研究内容的选择、方法的选择、猜想如何得到、为什么用方格纸画图的所有活动都是在教师的问题引导下师生共同设计出来的，而不是学生跟着教师重复一遍.

4.参与过程设计是优化学习策略的重要途径

实践证明：数学学习中学习策略的优化使用能有效地提高学生的学习成绩，有利于培养学生的自主学习能力.课堂教学中，教师应努力构建培养学生自主学习能力的教学框架，挖掘数学知识发生、发展过程中所内隐的策略性知识，多维度设计数学学习策略性问题，充分利用课堂提问的契机，加强策略性问题的提出，促进学生不断进行相关策略的练习，使学生在学习数学知识的同时进一步深化数学思想方法，培养科学思维品质，在“学会”的同时逐步熟悉“如何学”，不断提升自主学习数学的能力.

本节课从学科内容和方法维度设计策略性问题，一是与平行四边形研究的内容有关的问题；二是如何研究平行四边形的判定方法的问题.这些问题都是研究问题的重要策略，对所有的几何探究都适用.

1.叶亚美.分析与思考课本素材使用中存在的问题［J］.中学数学教学参考（中），2003（1-2）.

2.邬云德.立意于“过程”哲学观的课例［J］.中学数学教学参考（中），2003（5）.W