张炜

[摘要]：首先，以万有引力定律为载体提出了两个典型的物理模型；其次，阐述了这两个典型模型在高考中的应用并渗透了高考的命题思想。这对新课标形式下的物理教学有一定的意义。

[关键词]：万有引力 球体模型 行星模型

一、球体模型：忽略地球自转

规律：万有引力产生重力。

GMmR2=mg，∴M=gR2G

推广到球外一点：GMm（R+h）2=mg′

∴g′=GM（R+h）2，h↑，g′↓

推论：GM=gR2（黄金代换式）

思路一：建立球体模型，万有引力产生重力。

例1：（2013新课标）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（A）

A.1-dR B.1+dR C.（R-dR）2 D.（RR-d）2

解：

在地表，有：GMmR2=mg，M=ρ43πR3g∝R

在矿井底部：GM′m（R-d）2=mg′，M′=ρ43π（R-d）3

∴g′g=R-dR=1-dR，答案为A。

体会：题目呈现模型，考查能力方法。知识模型显在，思想方法曲引。比例法和球体模型的应用。

注：比例法的步骤：（1）写通式；（2）找不变量；（3）算比例。

例2：假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g。则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（B）

解：当点在球内时，由上题知g∝r。当点在球外时，g∝1r2。因此答案为B。

体会：比例法和球体模型的应用。

二、行星模型：将地球和卫星看作质点

规律：万有引力提供向心力。

GM中mr2=mr4π2T2，M中=4π2r3GT2

已知r，T可测M。

思路二：建立行星模型，万有引力提供向心力。

推论一：gR2G=4π2r3GT2，∴r3=gR2T24π2（可测量行星的轨道半径）

推论二：GMmr2=ma=mv2r=mrω2=mωv=m4π2T2r

已知r，T；v，T；ω，r；vω；v，T；r，v均可测质量M。

推论三：a=GMr，v=GMr，ω=GMr2，T=2πr3GM

r↑，a↓，v↓，ω↓，T↑；高轨低速周期长，r↓，a↑，v↑，ω↑，T↓.低轨高速周期短。

例3：（2008全国卷）地球同步卫星到地心的距离r可由r3=a2b2c4π2求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（AB）

A.a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度

B.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度

C.a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度

D.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度。提示：由推论一可得AB正确。

例4：已知引力常数为G，利用下列哪组数据，可以计算地球的质量（ABC）

A.已知地球半径和地表的重力加速度g

B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v

C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T

D.已知卫星的质量和卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r

提示：由推论二可得ABC正确。

例4：（2012广东卷）.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的（CD）

A.动能大

B.向心加速度大

C.运行周期长 D.角速度小

提示：由推论三可得CD正确。

体会：模型给力快速攻破，二级结论直通高考。

三、两个模型的综合应用

例5：（2000全国卷）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内.如图所示，现把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c.试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间.（要求用题给的已知量表示）

解：将地球和卫星看作质点建模如图：

在地面：GMmR2=mg，

对卫星：GMmr2=m4π2T2r

由几何关系：L=r2+R2-2rRcosα，t=Lc

解得t=（R2gT24π2）23+R2-2R（R2gT24π2）13cosαc。

体会：计算题主要注重独立灵活的分析解决新情景下的物理问题，着重考查对物理过程的分析，建立物理模型和应用数学解决物理问题的综合能力。这里边建立物理模型是非常重要的。因此，计算题包含着建模和数学同时还有过程的分析。

四、总结

高考命题的主要思想：问题呈现，模型流淌，因为基础，便于垒高，由于经典，便于迁移，源于事实，富有活力，理想处理，实现本质。