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“2299=2300”引发的思考

2015-05-22张宏涛

文理导航·教育研究与实践 2015年4期
关键词:两条路小道草坪

张宏涛

北师版教科书九年级数学上册第二章的教学内容是《一元二次方程》,在进行一元二次方程的应用教学时,我曾连续几年把下面的一个问题作为学生的作业甚至是单元测试题:

如图(一)所示,有一块长32米,宽20米的矩形稻田,稻田内有两条处处等宽的弯曲小路,已知种植面积为540m2,求道路的宽是多少?解答过程如下:

解:设道路的宽为x米,依题意有

(32-x)(20-x)=540,

整理,得x2-52x+100=0。

(x-50)(x-2)=0,

解得x1=2,x2=50(不合题意,舍去)。

答:道路的宽应是2米。

解题的思路是把图(一)中的两条路“平移”(本文中的“平移”实指等积变换)到如图(二)所示的位置,从而建立方程。

无独有偶,2011-2012学年北京市101中学七年级(下)期中数学试卷中有这样一道试题:16.如图(一),在长32米,宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路,把草坪分成了4部分,若每条小路的宽度为2米,则草坪的面积为_____平方米。提供的解答过程如下:

解:由平移的性质,草坪的长为32-2=30(米),

宽为20-2=18(米),

面积=30×18=540(平方米)。

两道试题的解题思路都是利用了“平移”前后面积的不变性。一切看似合乎情理、风平浪静。但是,在2014年9月30日,当我碰到山东省威海市2013年中考数学的第23题时,我发现以上试题竟然存在漏洞,自己引用的竟然是一个错题。请看:

(威海市2013)要在一块长52m,宽48m的矩形绿地上,修建同样宽的两条互相垂直的甬路。下面分别是小亮和小颖的设计方案。

(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x;

(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示:小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)

在批阅学生的作业时,发现绝大部分学生利用“平移”,少部分学生用总面积减去两条路的面积,再加上重叠部分的面积。特别地,发现第(2)问的两种解法的结果不同,第一种解法的结果为2300平方米,第二种解法的结果为2299平方米。为什么会相差1平方米?我开始怀疑之前我深信不疑的“平移”,中间肯定有问题。我打开几何画板开始画图做试验,结果终于发现了问题所在。探究过程与大家分享如下:

以矩形草坪上建路为例,在矩形的长、宽及路宽分别相同的条件下,上面的图(三)与图(四)可认为是等价的。如图(四),设路宽为x,两条路的夹角∠BCD为钝角,过点B作BI∥EF交CD于点I,则四边形BEFI是平行四边形,BI=EF=x;在△BCI中,∠BCI为钝角,则BC

综上所述,用图(二)的方式建立方程来研究图(三)、图(四)、图(五)等情境中的面积问题有失严谨。至此,出现“2299=2300”这一怪现象的原因终于真相大白!

目前,看似“正确”的“平移”仍在上演,例如福建省惠安县2014年初中学业质量测查(第二次质检)数学试题中的第24题如下:

学校课外生物小组的试验园地是长32m、宽20m的矩形,为便于管理,现要在试验园地开辟水平宽度均为x m的小道(图中阴影部分)。

(1)如图1,在试验园地开辟一条水平宽度相等小道,则剩余部分面积为_____________m2(用含x的代数式表示);

(2)如图2,在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道,其中有两条道路相互平行。若使剩余部分面积为570m2,试求小道的水平宽度x。

其提供的答案如下:

解:(1)由题意可得,剩余部分面积为:20(32-x)m2;

(2)依题意,得(32-2x)·(20-x)=570

解得x1=1,x2=35(舍去)

答:小道宽为1米。

显然,其第(2)问存在同样的漏洞。从根本上说,此类题目条件不全无法求解。怎样补上这个漏洞哪?一个好的办法就是明确图中每个重叠部分的面积均是x2平方米(x为路宽)。

在数学教学中,难免还会遇到“2299=2300”等类似的“怪现象”,只要我们能勤于思考、乐于求是、敢于质疑、善于创新,那些看似“正确”的“合情推理”,终将真相大白!

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