肖丽霞, 高会双, 韩贵春

(内蒙古民族大学数学学院, 通辽 028000)



一组判定非奇异H-矩阵的含参数充分条件

肖丽霞, 高会双, 韩贵春

(内蒙古民族大学数学学院, 通辽 028000)

非奇异H-矩阵在很多应用方面发挥着重要作用。给出了一些判别非奇异H-矩阵的充分条件，推广和改进了已有的相关结果, 并用数值算例说明结果的有效性。

非奇异H-矩阵;α-对角占优矩阵; 不可约; 非零元素链

1 符号与引理

非奇异H-矩阵在计算数学、矩阵理论、控制论等领域发挥着重要作用。例如，线性方程组Ax=b，若系数矩阵A是非奇异H-矩阵，许多经典的迭代法都具有收敛性。但是，对非奇异H-矩阵的判别是非常困难的，本文在文献[1]的基础上，利用α-对角占优矩阵的性质，得到一组判定非奇异H-矩阵的新条件。

用Cn×n表示n×n阶复(实)矩阵的集合。设A=(aij)∈Cn×n，α∈[0,1]，N={1,2,…,n}。 记

k∈N1,

j∈N2

其中, 若N1={k}或N1=，令；同理若N2={j}或N2=，令

引理1[2]设A=(aij)∈Cn×n，若A∈D(α)，α∈[0,1]，则A∈D*。

引理2[3]设A=(aij)∈Cn×n，若A∈D*(α)，α∈[0,1]，则A∈D*。

引理3[3]设A=(aij)∈Cn×n，若A∈D0(α)，α∈[0,1]，A不可约且N2≠，则A∈D*。

引理4[2]设A=(aij)∈Cn×n，若A∈D0(α)，α∈[0,1]，且对任意i∈N3，都有非零元素链aik1,ak2k3,…,akpj，使得j∈N2，则A∈D*。

2 主要结果

定理1 设A=(aij)∈Cn×n，若满足：

1)N1,N2≠；

2)αkβj>1,∀k∈N1,∀j∈N2。

则A为非奇异H-矩阵。

di=ri(∀i∈N1),di=δ(∀i∈N2)．

对∀i∈N2, 可得

定理2 设不可约矩阵A=(aij)∈Cn×n，若满足：

1)N1,N2≠；

2)αkβj≥1,∀k∈N1,∀j∈N2。

且上式至少有一个严格不等式成立，则A为非奇异H-矩阵。

di=ri(∀i∈N1),di=δ(∀i∈N2)

定理3 设矩阵A=(aij)∈Cn×n，若满足：

1)N1,N2≠；

2)αkβj≥1,∀k∈N1,∀j∈N2；

di=ri(∀i∈N1),di=δ(∀i∈N2),

3 数值算法

输入:矩阵A=(aij)∈Cn×n，参数α∈[0,1]。

1)若aii=0(∃i∈N)，则A不是非奇异H-矩阵，停止，否则继续2)；

2)计算

3)计算

k∈N1；

4)计算

5)若αkβj>1,∀k∈N1,∀j∈N2，则输出A是非奇异H-矩阵，停止。

4 数值算例

α2β1=1.3950>1,α3β1=1.1225>1,

所以矩阵A满足定理1的条件，为非奇异H-矩阵。因为

故不满足文献[1]中定理2的条件，无法用文献[1]中定理2判定。

[1] 黄廷祝. 非奇H-矩阵的简捷判据[J]. 计算数学, 1993, 15(03):318-328.

[2] 孙玉祥. 广义对角占优矩阵的充分条件[J] . 高等学校计算数学学报, 1997, 19(03):216-223.

[3] 谢清明. 判定广义对角占优矩阵的几个充分条件[J]. 工程数学学报, 2006, 23(04):757-760.

[4] Li L, Niki H, Sasanabe M. A non-parameter criterion for generalized diagonally dominant matrices[J]. Int.J.Comput Math, 1999, 71:267-275.

[5] Gao Y, WangX. Criteria for generalized diagonally dominant matrices[J]. Linear Algebra Appl,1992,169:257-268.

[6] 周伟伟, 徐 仲, 陆 全, 等.非奇H-矩阵的迭代判定准则[J]. 工程数学学报, 2013, 30(5): 715-720.

[7] 高慧敏, 陆 全, 徐 仲, 等. 非奇H-矩阵的一组细分迭代判定条件[J]. 数学杂志, 2013, 33(02): 329-337.

[责任编校： 张 众]

A Set of Sufficient Conditions with Parameter for Nonsingular H-Matrices

XIAO Lixia, GAO Huishuang, HAN Guichun

(SchoolofMathematics,InnerMongoliaUniv.fortheNationalities,Tongliao028000,China)

NonsingularH-matrices play an important role in many applications. In this paper, some sufficient conditions were proposed for identifying H-matrices. Some related results were improved. Effectiveness was illustrated by numerical examples.

nonsingularH-matrix;α-diagonally dominant matrix; irreducibility; non-zero-element chain

2014-09-09

内蒙古民族大学科学研究基金资助项目(NMDYB1438)

肖丽霞(1980-)， 女， 内蒙古人，理学硕士，内蒙古民族大学讲师,研究方向为矩阵理论及应用

1003-4684(2015)01-0118-03

O151.21

A