明 锋，杨元喜，曾安敏，3

测站坐标时间序列随机模型的解析表达

明 锋1，2，杨元喜2，曾安敏2，3

(1.信息工程大学 地理空间信息学院，郑州 450001；2.地理信息工程国家重点实验室，西安 710054；

3.西安测绘研究所，西安 710054)

利用最大似然估计法分析测站坐标时间序列时，需根据时间序列的噪声特性构造相应的协方差阵。由于幂律噪声除包含白噪声，闪烁噪声和随机漫步噪声等谱指数为整数的噪声外，还包含谱指数为实数的噪声，且其统计特性各不相同。除白噪声和随机漫步噪声外，已有研究并没有详细给出其它幂律噪声随机模型的构造方法。本文针对有色噪声中幂律噪声类型的时间相关特性，基于分数阶差分的理论和性质，详细给出了时间域上平稳和非平稳幂律噪声的随机模型的解析表达式，并给出了相应元素之间的递推关系。该解析表达式对于研究幂律噪声时间相关性或模拟相应特征的有色噪声有一定的参考价值。

坐标时间序列；幂律噪声；有色噪声；协方差阵；分数阶差分

0 引言

近二十年来，以全球定位系统(global position system，GPS)为代表的空间大地测量技术的快速发展，特别是连续运行基准站的全球或区域广泛布设，已累积了大量的坐标时间序列。随着空间大地测量数据日益丰富，使得研究其坐标时间序列的噪声特性成为可能。目前，国内外已有很多研究证实，全球或局部尺度的GPS观测网所得到的测站坐标时间序列均包含时间相关性和空间相关性，且若忽略时间相关性则会导致测站速度不确定估计显著低估[1-6]。很多学者对GPS坐标时间序列的最优噪声模型进行了深入的分析。文献[1-2]最早给出了闪烁噪声协方差阵的近似公式，但对于非整数幂的有色噪声则采用周期图法进行求解。文献[7]系统地研究了有色噪声对测站速度和速度不确定度估计的影响，并给出了不同有色噪声的随机模型和以及对速度不确定度的近似表达式。文献[8]不仅给出幂律噪声协方差模型的通用构造公式，还给出了Gauss-Markov噪声、带通噪声的协方差表达式。由于采用最大似然法估计测站速度及其不确定度、周期项以及噪声振幅和谱指数等参数时，计算需迭代进行，因而噪声协方差阵需要多次构造并求逆，当时间序列跨度较长时，求解非常耗时。文献[9-10]利用所构造的噪声协方差阵为Toeplitz矩阵这一特点，采用Cholesky分解显著性提高了计算效率。

虽然文献[1-2，7-8]均直接给出了不同有色噪声模型的协方差阵，但在其文献中均只有最终结果，并无推导过程，这显然不利于理解不同噪声过程在时间域上的相关性。鉴于此，本文在文献[11]提出的分数阶差分的理论上，采用严密公式，详细推导幂律噪声的协方差阵并给出其解析表达式。

1 分数阶差分理论及其性质

▽dxt=at

(1)

(2)

(3)

式(3)中，中

(4)

(5)

(6)

式(6)中

(7)

对比式(4)和式(7)，可以推导出权系数ψk和ψk-1以及πk和πk-1之间具有如下关系为

(8)

从式(8)可以看出，两种表达形式中的权系数与阶数k和分数d有关，且均可以写成递推形式。

(9)

利用上述3条性质，即可以推导出平稳和非平稳幂律噪声随机模型的解析表达式。

2 平稳随机模型的解析表达

本节首先利用上一节介绍的分数阶差分的性质，将有色噪声看成某一卷积函数与一白噪声卷积后得到。因此，求解满足这一要求的卷积函数将是构造有色噪声协方差阵的关键。

2.1 平稳随机过程的卷积函数

(10)

(11)

(12)

(13)

2.2 协方差阵的解析表达

由分数阶差分性质(3)中的式(9)可得

(14)

又因为

故

(15)

因此，结合式(5)，可以得到协方差阵元素具有如下递推关系

(16)

3 非平稳随机模型的解析表达

由于式(16)只有当谱指数-1<α<1才适用，当3>α≥1时，噪声过程非平稳，不能用式(4)的无穷和形式来表示，因而式(16)不再适用。此时，可以采取以下两种途径解决：一是采用文献[12]提出的采用历元间差分的方法(对于大部分地球物理时间序列，一阶差分即可满足平稳要求)，将非平稳序列转换成平稳序列，再利用上述分数阶差分的性质对其建模；二是采用文献[13]提出的将式(10)无限求和形式截断到k的有限和来表示非平稳过程。本文此处介绍第二种方法。

在式(10)中，假设当i<0时，wi=0，也即假设当i<0时，ri=0。此时式(10)可以写成

(17)

进一步写成矩阵形式

(18)

式(18)右边中的系数hk即为式(3)中的ψk。注意到式(18)中的系数阵与文献[7]中的公式(8)完全一致，也即文献[9]中的式(9)的转置。

(19)

式(19)即为献[9]中的公式(8)。

令式(18)的系数阵的转置为U，即

C=UTU

(20)

需要进一步说明的是引入U后，式(18)还可以写成如下矩阵形式

(21)

式(21)中，r=[r0,r1,r2,…,rk]T，w=[w0,w1,w2,…,wk]T。 引入式(21)的一个主要目的是协方差阵C求逆时，利用分数阶差分性质(2)即式(6)，可以显著减少计算量，从而提高最大似然估计法解算速度。

4 结束语

目前，GPS坐标时间序列噪声分析普遍采用最大似然法同时估计测站速度及其不确定度、周期项和噪声振幅和谱指数等参数。而在采用最大似然估计之前，各噪声必须构造对应的协方差阵。对于常见的白噪声和随机游走噪声而言，已有明确的表达形式(白噪声的协方差阵为单位阵，随机漫步噪声可以通过对白噪声积分得到)。然而，对于谱指数为非整数的幂律噪声的协方差构造，尚无文献给出清晰的推导过程。本文基于分数阶差分理论和性质，详细推导了平稳序列和非平稳序列情形下的幂律噪声协方差解析表达式(式(16)和式(19))。这对于理解幂律噪声的时间相关特性有一定的参考价值。

[1]ZHANGJie，BOCKY，JOHNSONH，etal.SouthernCaliforniaPermanentGPSGeodeticArray：ErrorAnalysisofDailyPositionEstimatesandSiteVelocities[J].JournalofGeophysicalResearch，1997，102(B8)：18035-18055.

[2]MAOAi-lin，HARRISONCGA，DIXONTH.NoiseinGPSCoordinateTimeSeries[J].JournalofGeophysicalResearch，1999，104(B2)：2797-2816.

[3]WILLIAMSSDP，BOCKY，FANGPeng，etal.ErrorAnalysisofContinuousGPSPositionTimeSeries[J].JournalofGeophysicalResearch，2004，109(B3)：27-41.DOI：10.1029/2003JB002741.

[4]LANGBEINJ.NoiseinGPSDisplacementMeasurementsfromSouthernCaliforniaandSouthernNevada[J].JournalofGeophysicalResearch，2008，113(B5)：1-5.DOI：10.1029/2007JB005247.

[5] 李昭，姜卫平，刘鸿飞，等.中国区域IGS基准站坐标时间序列噪声模型建立与分析[J].测绘学报，2012，41(4)：496-503.

[6]WANGWei，ZHAOBin，WANGQi，etal.NoiseAnalysisofContinuousGPSCoordinateTimeSeriesforCMONOC[J].AdvancesinSpaceResearch，2012，49(5)：943-956.

[7]WILLIAMSSDP.TheEffectofColouredNoiseontheUncertaintiesofRatesEstimatedfromGeodeticTimeSeries[J].JournalofGeodesy，2003，76(9110)：483-494.

[8]LANGBEINJ.NoiseinTwo-colorElectronicDistanceMeterMeasurementsRevisited[J].JournalofGeophysicalResearch，2004，109(B4)，1-6.DOI：10.1029/2003JB002819.

[9]BOSMS，FERNANDESRMS，WILLIAMSSDP，etal.FastErrorAnalysisofContinuousGPSObservations[J].JournalofGeodesy，2008，82(3)：157-166.

[10]BOSMS，FERNANDESRMS，WILLIAMSSDP，etal.FastErrorAnalysisofContinuousGNSSObservationswithMissingData[J].JournalofGeodesy，2013，87(4)：351-360.

[11]HOSKINGJRM.FractionalDifferencing[J].Biometrika，1981，68(1)：165-176.

[12]AGNEWDC.TheTime-domainBehaviorofPower-lawNoises[J].GeophysicalResearchLetters，1992，19(3)：333-336.DOI：10.1029/91GL02832.

[13]BOXGEP，JENKINSGM，REINSELGC.TimeSeriesAnalysis：ForecastingandControl[M].3rded.NJ，USA：Wiley，1994.

Analytical Expression for Stochastic Model in Station’s Coordinate Time Series Analysis

MINGFeng1，2，YANGYuan-xi2，ZENGAn-min2

(1.Institute of Geospatial Information，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China； 2.State Key Laboratory of Geo-information Engineering，Xi’an 710054，China； 3.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping，Xi’an 710054，China)

The co-variance matrix of chosen noise model is required when using maximum likelihood estimation to analysis the station’s coordinate time series.The power law noise model is one of colored noise with different stochastic processes ranging from white to random walk，including flicker and fractional noise.However，in current research，the specific procedure to generate co-variance matrix of power law noise is often not prescribed in sufficient detail.In this paper，an analytical expression is proposed for creating stochastic model of power law noise based on fractional differencing theory in time domain.With this expression，the element of co-variance matrix can be calculated in a recursive algorithm if the power law noise process is stationary.This analytical expression would be of help for investigating the characteristic of the noise process or for the simulating the desired colored noise.

coordinate time series；power law noise；colored noise；co-variance matrix；fractional differencing

明锋，杨元喜，曾安敏.测站坐标时间序列随机模型的解析表达[J].导航定位学报,2015,3(3):59-62.(MING Feng, YANG Yuan-xi, ZENG An-min.Analytical Expression for Stochastic Model in Station’s Coordinate Time Series Analysis[J].Journal of Navigation and Positioning,2015,3(3):59-62.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20150312.

2015-05-18

国家863计划(2013AA122501-1)；国家自然科学基金(41374019，41020144004，41474015)。

明锋(1982—)，男(汉)，湖北嘉鱼人，博士生，主要从事动态大地测量数据处理研究。

P228

A

2095-4999(2015)-03-0059-04