张 磊, 刘 钰, 黄正均, 张 栋

(北京科技大学 土木与环境工程学院, 北京 100083)

基于突变理论的岩石刚性试验技术研究

张 磊, 刘 钰, 黄正均, 张 栋

(北京科技大学 土木与环境工程学院, 北京 100083)

根据突变理论建立岩石单轴压缩的力学模型,并分析岩石发生突然破裂的原因,提出了对于高强度、高脆性的岩石试件得出全应力应变曲线的试验方法。

岩石单轴压缩； 突变理论； 失稳破坏； 全应力应变曲线

事物从状态的一种形式突然地跳跃到根本不同的另一种形式的不连续变化,包含着突然变化的瞬间过程,称为突变(catastrophe)[1]。突变理论以不连续现象为研究对象,它运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具,研究某种系统(过程)从一种稳定状态到另一种稳定状态的跃迁。突变理论用一组参数描述系统所处的状态,当系统处于稳定状态时,表明该系统状态的某个函数取一定的值(如能量取极小或者取极大等)。当参数在某个范围内变化、该函数值有不止一个极值时,系统必然就处于不稳定状态,而参数再略作变化,能使处于不稳定状态的系统进入另一稳定状态,就在这一刹那状态发生了突变。

岩石受力破坏的过程是其内部微破裂萌生、扩展和断裂的过程,这个过程本身是一种非线性的突变现象。长期以来许多研究工作者一直致力于研究岩石峰值以后的应力与应变关系,以揭示岩石峰后表现出的承载力及其变形特征,在这过程中得出了很多有价值的结论。目前认为岩石力学试验中,岩石试件发生突然破裂的主要原因是:一是试验机的刚度不够；二是试验机控制精度不高[2]。因此随后就诞生了岩石伺服刚性试验机,以解决上述的两个问题。但是,不是所有的岩石试件通过岩石伺服刚性试验机都可以得出岩石的全应力-应变曲线,如果岩石表现出高强度、高脆性时,全应力-应变曲线就不易得出[3]。本文根据突变理论建立了岩石单轴压缩的力学模型,并分析岩石发生突然破裂的原因,同时提出了对于高强度,高脆性的岩石试件得出全应力应变曲线的试验方法。

1 尖点突变理论模型

尖点突变模型标准的势函数为

(1)

式中,x为状态变量；p和q为控制变量。

当势函数V(x)的一阶导数为零时有

(2)

式(2)为系统的平衡方程,如图1所示,这是一个具有光滑折痕的曲面,其上一点代表所研究系统的一种平衡状态。对势函数V(x)求二阶导数有

(3)

在图1中曲面上叶和下叶上,满足V″(x)>0,即系统势能取极小值,则平衡状态是稳定的；在曲面的中叶上V″(x)<0,即系统势能取极大值,则平衡状态是非稳定的。

图1 尖点突变理论模型

4p3+27q2=0

(4)

当系统状态处于下叶时,状态稳定,随着外界载荷的进一步作用,系统状态进入中叶,当系统进一步发展时,达到平衡临界点时,系统就会发生突然跳跃直接到达下叶,即系统失稳破坏[1,4-5]。

2 岩石单轴压缩尖点突变理论模型的建立

岩石单轴压缩试验在加载系统作用下的破裂过程,除了在特殊的控制条件下进行外,通常都不是一个稳定的状态,在更多的情况下是由稳态发展到失稳的过程[6-8],运用突变理论可以很好地描述岩石单轴压缩过程中的失稳现象。

对岩石单轴压缩试验加载过程进行分析并建立相应的力学模型,载荷R和变形u′的本构关系可写为[9]

(5)

系统整体的势函数V是系统的总能量，有

(6)

式中:k为试验机的刚度；a为系统的全位移。

求解上述定积分，有

(7)

式中:u1为岩石试件载荷-变形曲线中载荷软化的拐点对应的位移；λ1为岩石试件载荷-变形曲线中载荷软化的拐点处的斜率。令:

那么式(7)可以写为尖点突变的标准势函数形式为

(8)

对式(8)求导,可以得出尖点突变模型的平衡方程为

4x3+2ux+v=0

(9)

奇点集为

12x2+2u=0

(10)

上述各式中,u、v是控制变量,可以控制和决定系统的演化过程和演化途径。

从图1中可以看出,系统得到的平衡曲面是一个折叠的曲面,其折叠或尖点的集合称为奇点集,奇点集在u-v平面上的投影称为分叉集,消去式中的x,可以得出分叉集的方程为

8u3+27v2=0

(11)

分叉集为一半立方抛物线。分叉集上的任意点(u,v)对应于系统的某个临界状态。从图2中可以看出,只要控制变量u<0,系统从一种状态演化到另一种状态、穿过分叉集曲线时系统的状态将发生一个突跳,即岩石发生突然的破裂。那么系统发生失稳破坏的条件是:试验机的刚度小于岩石试件载荷-变形曲线中载荷软化的拐点处的斜率[10-12],即:

(12)

图2 岩石单轴压缩尖点突变理论模型

3 岩石单轴压缩刚性试验

普通的力学试验机是由加载架、液压系统和测量系统组成,长期以来大多数岩块的变形与强度性质的试验都靠普通试验机来完成。但在实践中发现,在进行岩石力学试验时,当达到岩石峰值强度的瞬间,往往会发生岩石试件“爆裂”现象,以至于很难测得接近或达到峰值时的应力与应变关系,更无法获得峰值以后的信息。岩石试件发生“爆裂”现象主要是:(1)试验机的刚度比岩石试件的刚度小；(2)当岩石发生破裂承载力下降时试验机不能主动“让压”。

目前岩石力学试验克服岩石试件发生“爆裂”的途径是:提高试验机的刚度及伺服控制试件的变形。

岩石在加载过程中试验机储存的弹性势能为

(13)

式中，k为试验机的刚度，um为试验机自身位移，P为载荷(kW)。

岩石在加载过程中试件储存的弹性势能为

(14)

式中kr为岩石的刚度。

在普通试验机上进行岩石力学试验时可以看出Em>Er,在岩石试件破裂的瞬间,岩石试件的承载能力降低,同时其弹性势能也伴随裂纹的扩张、声响、震动和热能而消耗掉；但试验机的弹性势能并没有消散,它会完全释放给岩石试件,使得岩石试件吸收比自身的弹性势能大出很多倍的势能,使得岩石试件不能承受这么大的弹性势能,因此发生“爆裂”现象。

如果提高试验机的刚度,即km→,那么试验机在加载的过程中自身储存的弹性势能就很小,即

(15)

在岩石试件破裂的瞬间,试验机不会释放弹性势能或释放很少的弹性势能给岩石试件,这时岩石试件就不会发生“爆裂”现象。岩石单轴压缩全应力-应变曲线见图3，图中应变为轴向应变。

图3 岩石单轴压缩全应力-应变曲线

但是对于脆性指标很高和强度很高的岩石试件来说,全应力应变曲线就不是那么容易得出了。因为k→只是一种理想状态,刚性试验机的刚度可以很大,但其刚度不会达到无穷大。刚性试验机的刚度一般在7～10 GN/m之间,在试验过程中,试验机还是会储存一部分弹性势能,如果岩石试件表现出极强的脆性,那么岩石试件就有可能发生“爆裂”现象。

针对高强度、高脆性的岩石在单轴压缩试验过程中易发生“爆裂”现象,作者认为可以采用在峰后主动卸载的方法得出其全应力-应变曲线。因为在岩石达到峰值时,岩石内部已经发生了大量的损伤现象,产生了一些裂隙；这时进行卸载将岩石的应变能释放一些,然后再加载,岩石会沿卸载的应力应变路径的上方行进,留下一个应力滞回环,最后穿过卸载应力应变路径,但由于岩石已经发生了损伤,再次加载时岩石试样的弹性模量会降低,强度不可能达到卸载点的强度,在低于卸载点的载荷值时岩石继续发生破裂。岩石试件的卸载和加载过程不但可以降低岩石的脆性指标,还可以降低其λ1值,可以得出岩石的全应力-应变关系曲线。

该试验是在岩石力学实验室的GAW-2000岩石刚性试验机上进行的岩石峰后卸载试验。试验方法为:在峰值前的线弹性阶段采用应力控制,速率为500 N/s；达到屈服后采用应变控制,速率为0.01 MM/Min；峰后采用应变控制,速率为0.006 MM/Min；在卸载点主动采用应力控制卸载,速率为800 N/s；将载荷卸至零点，然后再加载,加载方式和峰值前的方式一致；当岩石试件再次发生破裂后再进行卸载控制,方式同前；直到得出岩石的全应力-轴向应变曲线,见图4。

4 结论

(1) 根据突变理论建立了岩石单轴压缩的力学模型,并分析岩石发生突然破裂的失稳破坏条件是:试验机的刚度小于岩石试件载荷-变形曲线中载荷软化的拐点处的斜率,即:K≤λ1；

图4 岩石峰后卸载的全应力-应变曲线

(2) 岩石试件发生“爆裂”现象主要是:①试验机的刚度比岩石试件的刚度小；②当岩石发生破裂承载力下降时,试验机不能主动“让压”。

(3) 针对高强度、高脆性的岩石在单轴压缩试验过程中易发生“爆裂”现象,可以采用在峰后主动卸载的方法，以降低岩石的脆性指标和λ1值,可以得出岩石的全应力-应变关系曲线。

)

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Research on rock rigidity test technology based on catastrophe theory

Zhang Lei, Liu Yu, Huang Zhengjun, Zhang Dong

(School of Civil and Environmental Engineering, Beijing University of Science and Technology, Beijing 100083, China)

The state of things suddenly shifts from one form to a completely different form,this discontinuous change includes a sudden change of instantaneous process which is called catastrophe. The failure process of rock itself is a kind of nonlinear phenomenon of catastrophe. A mechanics model of rock uniaxial compression is established,and the cause of rock burst is analysed. This paper puts forward a test method in order to obtain the complete stress-strain curve of the high strength and high brittleness rock at the same time.

rock uniaxial compression; catastrophe theory; instable failure; complete stress-strain curve

2015- 05- 13

张磊(1981—)，男，河北徐水，硕士，工程师，研究方向为岩土工程.

E-mail：13810174099@163.com

TU45

A

1002-4956(2015)10- 0046- 03