周 杰 李小汝 罗范杰

(①四川工程职业技术学院，四川 德阳 618000;②西南科技大学制造科学与工程学院，四川 绵阳 621010)

随着制造业向着高效率、高质量、高精度、高智能发展，精密和超精密加工已经成为现代制造业最重要的发展方向。大量研究表明:热误差占总误差的40%～70%［1-2］，对于高精密机床热误差所占比重更大。因此，热变形导致机床加工误差的问题日益突出。总的来说，减少热误差有误差防止法和误差补偿法［3］。相对于“硬技术”的误差防止法，误差补偿法是一项具有显著经济价值并有效提高机床精度的手段［4-5］。

要想建立预测精度高、鲁棒性好的热误差模型，需要在机床上布置大量的温度传感器，从而获取较为准确的温度场，但这会导致数据处理量过大、数据耦合、布线过多、影响加工等问题，因此温度测点的优化具有重要意义。目前，对温度测点优化的研究，不少专家学者采用有限元［6］、神经网络［7］、逐步线性回归［8］等方法均取得了一定效果，但是这些方法都有一定的局限性，如有限元方法的边界条件和热源载荷很难确定，神经网络训练时间过长，逐步线性回归易导致温度测点耦合。模糊聚类方法是目前较为优越的方法之一［9-10］，其中基于模糊等价关系的传递闭包法和基于目标函数的模糊C 均值聚类应用最多，但这两种方法都需要事先确定聚类数目，需要丰富的工程经验才能保证聚类数目的有效性。本文提出基于自适应FCM 模糊聚类方法对机床温度测点进行优化，该方法自动给出最佳聚类数目，并结合相关分析找出测温关键点，利用多元线性回归对热误差进行建模，验证该方法的有效性。

1 自适应FCM 模糊聚类

传统的FCM 模糊聚类算法对给定的数据集进行分类时，需要确定两个重要参数，即样本聚类数目C 和模糊加权指数m，由于需要人为事先给出聚类数目，加权指数m 也没有相关理论能够确定其最佳值，因此FCM 模糊聚类的有效性需要借助工程经验进行验证，限制了其应用。良好的聚类方法应该满足两个条件，一是聚类中类与类之间的距离越大越好，二是聚类中个体与个体的聚类越小越好。因此结合以上思想和F 统计学理论，在FCM 模糊聚类算法上进行改进，提出了聚类数C 的自适应函数:

式中:c 为聚类数目，n 表示数据集X={x1，x2，…，xn}的变量个数，xi表示变量的观测数据向量;vi表示第j类的原型矩阵表示总体样本的中心向量。uij表示样本的隶属度矩阵。

从式(1)中可以看出，L(c)的分子表征类与类之间的距离，分母表征类内数据点与该类中心之间的距离，因此L(c)的值越大，说明分类越合理，对应L(c)值最大的c 为最佳值。具体算法如下:

STEP 0.给出迭代标准ε＞0，聚类数c=2，聚类数1 的自适应函数L(1)=0，初始分类矩阵V(0)，k=0 ;

STEP1.用式(3)计算模糊划分矩阵U(k):

STEP2.用式(4)计算聚类中心矩阵V(k+1)。

STEP 3.用一个矩阵范数| | | |比较V(k+1)与V(k)，若|| V(k+1)-V(k)||≤ε，则停止迭代，否则，置k=k+1，转向STEP1。

STEP 4.计算L(c)，在c＞2 并且c＜n 的情况下，若L(c-1)＞L(c-2)并且L(c-1)＞L(c)，则聚类过程结束，否则，置c=c+1，转向STEP 1。

由于FCM 聚类算法是在局部寻找最小点，故只需在局部比较L(c)，这也是STEP 4 的合理性所在。

2 实例分析

由于机床温度场的分布比较复杂，温度测点的布置一般都是由工程经验判断进行，本文以一台立式铣床为研究对象，采用热成像仪得到机床的温度场分布情况如图1 所示，根据热成像仪的温度场分布情况，在机床主要发热部位布置PT100 传感器，具体为:前轴承处(1#，2#)，后轴承处(3#，4#)，主轴箱(5#，6#，7#，8#，9#)，立柱(10#，11#，12#)，环境温度(13#)。

实验中对机床采取500 r/min 的转速运行2 h，接着1 000 r/min 的转速运行3 h，每隔10 min 采集一次数据。用电涡流位移传感器检测主轴前端X、Y、Z 三个方向的热变形。实验过程如图2 所示。

得到各测点的温升和主轴热变形曲线如图3和图4 所示。从图3 可以看出，各测温点具有较强的线性相关性，需要对测点进行分组优化选择。

采用改进后的自适应FCM 模糊聚类对所测温度变量进行聚类分组，从物理意义和聚类的有效性考虑，加权指数m 取值为2，经过189 次迭代，并得到L(c)为:L(2)=89.830，L(3)=140.839，L(4)=172.705，L(5)=185.167，L(6)=213.482，L(7)=181.672，因此可以看出，划分为6 类最好，得到聚类后的划分矩阵U(表1)和图5 的各分类的隶属度函数条状图。

从图5 和划分矩阵U 中可以看出，改进后的自适应算法是有效的，不仅能够实现聚类分组，还能得到最好的聚类结果，聚类分组结果如表2 所示。

根据聚类分组的情况，只需在每个分组中选出1 个关键温度测点，因此节省了计算量。采用相关分析方法，计算每个分组温度变量与机床主轴的综合热误差的相关系数，由于机床左右对称，X 方向热误差很小，将其忽略，取Y、Z 方向热误差的加权综合作为综合热误差。这里Y 方向的加权指数为0.48，Z 方向的加权指数为0.52，计算结果见表1，最终选择T5、T9、T1、T11、T6、T13用于建模补偿。

3 建模与验证

良好的热误差模型直接影响着热误差补偿的精确度，基于最小二乘法的多元线性回归分析在工程实践中适应性强，数学结构简单，计算效率高，因此本文采用多元线性回归建立热误差与关键测温点的误差模型。应用多元回归分析建立机床热误差与关键温度测点的数学模型可表示为［11］:

式中:(β0，β1，…，βn)是待确定的相关系数。ε是一个服从正态分布的随机变量。以最小二乘估计法，将新测量的机床优化后的温度和热误差数据代入式(5)，建立回归方程。由于机床X 方向结构对称，热误差很小，因此只建立Y 和Z 方向的热误差模型如下:

表1 测点序列的划分矩阵U

表2 聚类分组结果

将机床第2 天重新开机运行后，以新测量的关键点温升和主轴热变形数据对回归模型进行试验验证，得到如图6 和图7 的模型预测、实测对比验证图。从图6 和图7 可以看出，采用多元线性回归方法建立的热误差模型，能有效地预测机床的热变形，Y 方向的热误差最大残差值为4.2 μm，Z 方向最大残差值为8.1 μm。通过上述的方法获得的以测温关键点建立的热误差模型完全可以保证热误差模型的预测精度，同时也消除了温度变量耦合现象，提高了模型的鲁棒性，同时也验证了自适应FCM 模糊聚类在温度测点优化应用的可行性。

4 结语

本文提出的自适应FCM 模糊聚类分组优化建模方法具有以下几个优点:①无需人工设置所需分组数目，不仅可以自动给出最优聚类数，也能得到分类结果，有效地减少了温度变量选择的时间，效率更高，实用性更强;②对分组结果采用相关分析方法选出测温关键点，避免了温度变量的耦合，并且热误差由原来最大50 μm 减小到10 μm 以内，热误差模型的预测精度高;③在保证热误差模型精度的条件下，大大减少了温度变量和建模时间，有效地减少了热误差补偿实验成本。

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