宋 斌，杨恢先*，曾金芳，谭正华，李翠菊

(1.湘潭大学物理与光电工程学院，湘潭411105;2.湘潭大学信息工程学院，湘潭411105)

引 言

图像分割是一个经典的图像处理问题，是图像理解和识别的基础。在图像分割的诸多方法中，阈值分割法具有自适应分割的特性，且较易实现，因此得到了广泛的应用［1］。经过多年研究，国内外学者提出了大量阈值选取方法，其中最大类间方差法(Otsu法)［2］、最大熵法［3］、最小误差阈值分割法(minimum error threshold segmentation，METS)［4］是阈值分割方法中最为突出的3种方法。2维最大类间方差法［5］分割速度较快、目标分割准确，但对1维直方图背景和目标方差相差较大的图像易产生阈值偏移，致使分割效果不好，而METS法能有效地克服该缺点，分割效果更为理想。METS法是由KITTLER和ILLINGWORTH［4］假设理想情况下目标与背景的灰度分布服从混合正态分布，根据贝叶斯误差理论推导出的一种重要的阈值分割方法。SEZGIN等人［6］研究对比了多种阈值分割算法，指出分割性能最佳的是METS法。1维METS法不易受目标和背景相对大小的影响，但对噪声较为敏感，对低信噪比图像分割效果较差。FAN等人［7］将图像的灰度和均值灰度信息结合起来，对METS法进行了2维推广，有效地抑制了噪声的干扰。针对2维METS法计算复杂度高的问题，FAN等人［7］给出快速递推算法，把复杂度由O(L4)降为O(L2);ZHU等人［8］提出了2维METS法的分解算法，把复杂度由O(L2)降为O(L);WU［9］等人和 ZHANG［10］等人分别将混沌粒子群算法和人工蜂群算法与2维METS法结合，提高了速度。这些研究虽然有效地加快了算法的分割速度，但对分割效果没有很好的改善。为改善METS法的分割效果，XUE等人［11］在1维最小误差阈值分割法中引入平均中值离差(mean absolute deviation from the median，MAD)，图像分割的鲁棒性有一定程度的提高，但该算法对含噪图像分割效果不理想;LIU［12］等人基于灰度、邻域均值灰度和邻域中值灰度提出了3维METS法，较好地解决了噪声干扰的图像阈值分割问题，但处理时间远大于2维METS法。鉴于中值是比均值更为鲁棒的灰度值估计量，作者将中值引入2维METS法，提出一种基于平均中值离差的2维METS法，并对该算法进行降维分解，以加快运算速度，预期对直方图概率分布呈偏斜分布与重尾分布的含噪图像有良好分割效果和鲁棒性。

1 2维METS法

对于一幅灰度级为L，大小为M×N的数字图像，以图像坐标上任意一点(x，y)的灰度值f(x，y)与K×K邻域(K=3)平均灰度值g(x，y)分别作为2维直方图的横纵坐标，组成的二元数组，记作(i，j)。f(x，y)，g(x，y)∈G=［0，1，…，L－1］，该2 维直方图定义在 1个(L－1)×(L－1)大小的投影平面内。设数组(i，j)出现的频率为Cij，相应的联合概率密度:

图1a为灰度图像的2维直方图，设图像分割阈值为(s，t)，如图1b所示，则2维直方图的投影平面被直线i=s和j=t分成4个区域。一般情况下，由于二位直方图中边缘与噪声处于远离对角线的区域，因而可以忽略。即区域2和4上所有的Pij≈0，背景与目标分别位于区域1和3中。

Fig.1 2-D histogram and region division

对于理想的灰度图像的2维直方图，假定阈值(s，t)处有1个2维混合正态分布:

式中，P0(s，t)，P1(s，t)是先验概率，P(i，j/0)和P(i，j/1)是两个2维正态分布。

2维正态分布随机变量(x，y)的概率密度函数定义为:

式中，μ1，μ2为变量x和y的均值;，为变量x，y的方差;ρ为随机变量x和y的相关系数。先验概率P0(s，t)，P1(s，t)分别为:

定义图像目标类与背景类的灰度平均值向量μ0(s，t)，μ1(s，t)如下:

对于图像真实的2维直方图概率Pij和理想的2维混合正态分布概率Pij*，使用相对熵来计算，化简后得到2维METS法阈值函数J(s，t)的表达式:

选取的最佳阈值向量(s*，t*)满足:

2维METS法虽然能克服2维最大类间方差法的阈值偏移问题，但该算法是基于模板匹配的思想推导而来，当图像中目标与背景的分布符合正态分布时，分割效果较好，否则分割效果欠佳［13］。

2 基于平均中值离差的2维METS法及其分解算法

2.1 基于平均中值离差的2维METS法

类似于方差，平均中值离差(MAD)也是一种常用的类内离散测度。当图像中目标或背景类的直方图呈现偏斜分布或重尾分布时，中值是比均值更为鲁棒的灰度值估计量。XUE等人［11］以平均中值离差作为离散测度，以混合高斯分布模型为基础，提出的1维基于平均中值离差的最小误差阈值分割法(简称MADMETS)虽引入了中值，分割鲁棒性优于1维最小误差法，但该算法基于1维灰度直方图，仅考虑了图像的灰度信息，对于噪声图像分割效果不理想。

现将1维基于平均中值离差的METS法推广到2维，以期在获得较好的分割效果的同时保证对1维直方图呈偏斜或重尾分布图像分割的鲁棒性。

定义目标与背景类对应的平均中值离差向量M0(s，t)，M1(s，t)分别为:

式中，M00(s，t)，M10(s，t)为目标、背景类对应于阈值(s，t)的平均中值离差，M01(s，t)，M11(s，t)为目标、背景类对应于阈值(s，t)的平均中值离差;Pij为2维直方图上(i，j)点的概率，xi和xj为灰度级，m00(s，t)，m10(s，t)为目标、背景类对应于阈值(s，t)的灰度中值，m01(s，t)，m11(s，t)为目标、背景类对应于阈值(s，t)的邻域均值灰度中值，即:

式中，C0(s，t)和C1(s，t)分别代表图像2维直方图目标与背景区域，由(9)式、(11)式可得到2维基于平均中值离差的最小误差法准则函数J0(s，t)表达式:

选取的最佳阈值向量(s*，t*)满足:

为求得最佳阈值(s*，t*)，需要在L×L的投影平面内搜寻，并假定图1b中的区域1和区域3为目标和背景区域，因而2维基于平均中值离差的METS法的时间复杂度为O(L4)，FAN等人［7］采用递推的方式求取阈值，算法的复杂度降为O(L2)。

2.2 2维基于平均中值离差的METS法的分解算法

阈值分割算法从1维推广到2维会大大增加计算复杂程度，YUE等人［14］将分解思想应用于2维灰度图像阈值选取，通过求解2个1维算法的阈值来代替原始的2维算法的最佳阈值，并从理论上证明了可以得到与原2 维算法相同的阈值。ZHU［8］和 GONG［15］也将该分解方法成功地运用到2维METS法和3维Otsu法中。基于同样的思想，这里提出一种基于分解的2维基于平均中值离差的METS法的快速阈值算法。

由2维直方图中二元数组(i，j)的联合概率分布Pij，可得像素灰度级边缘分布Qi和邻域平均灰度级Rj，将Qi和Rj分别作为像素灰度值i和邻域平均灰度值j的1维直方图分布:

假设2维直方图中区域1和区域3中的概率可以忽略不计，则有:

将(16)式～(22)式代入(13)式中化简，分离变量i和j，可以得出分解算法最终的分割阈值函数J*(s，t)表达式:

式中，只含i的1维阈值函数J*i(s)与只含j的1维阈值函数(t)分别如下:

从(23)式～(25)式可以看出，分解算法实现了s与t变量的分离，将2维阈值(s*，t*)的选取转化为了两个1维阈值s*与t*的求取，算法的时间复杂性由O(L2)降到了O(L)，降低了运算复杂程度。图2为基于分解的2维基于平均中值离差的METS法的快速阈值算法流程图。

Fig.2 Flowchart of 2-D METS method based on mean absolute deviation from the median

3 实验结果与分析

仿真实验是在 Core 2，2.1GHz，2GB 内存的机器上进行的，编程环境为MATLAB R2012a。为验证算法的有效性，对多幅图像进行了处理，均获得了比较满意的结果;为了与其它算法进行比较，给出4幅含噪实验图像:boat，tank，moon与coin。各图像的1维直方图如图3所示，直方图的横纵坐标分别表示图像的灰度级与相应灰度级的像素点的频数。boat与tank的1维直方图概率分布是较为典型的偏斜分布，moon与coin的1维直方图概率分布是较为典型的重尾分布。

分别采用1维基于平均中值绝对差的最小误差阈值分割法(1-D MAD-METS)［10］、2维最大类间方差法(2-D Otsu)［14］、2 维最小误差阈值分割法(2-D METS)改进算法［7］和2维基于平均中值离差的最小误差阈值分割法(2-D MAD-METS)对实验图像分割对比，4种算法的最佳分割阈值如表1所示。

Fig.3 1-D histogram of the image

Table 1 Comparison of threshold value of different methods

从视觉效果上，由图4的实验结果可知，1维MAD-METS法对于噪声的抑制最差，2维Otsu法、2维METS法抗噪声能力要优于1维MAD-METS法，对目标背景噪声的抑制比2维MAD-METS法差，且2维MAD-METS法对目标轮廓分割得更为平滑。

Fig.4 Threshold segmentation results of images

对偏斜分布图像boat和tank的分割，2维METS法和2维MAD-METS法分割结果的边缘轮廓准确性和对背景噪声的抑制优于2维Otsu法，2维 MADMETS法对背景噪声的抑制和分割目标边缘平滑性要更优于2维METS法，能更准确干净地分割出目标;对重尾分布图像moon与coin的分割，2维Otsu法和2维MAD-METS法对图像中噪声的抑制优于2维METS法，2维MAD-METS法对于分割目标边缘轮廓准确性更优于2维Otsu法，能够较为准确地分割出目标的边缘和轮廓，对噪声也有较好的抑制。

图像分割效果好坏一般由人进行主观评判，但也很有必要对不同算法分割结果进行定量的客观评价。现引入区域间灰度对比度(gray-level constrast，GC)与区域内部均匀性(uniformity within region，UM)对4种算法的分割效果进行定量评价。

图像分割把图像分割成若干区域，对相邻接的两个区域，它们各自平均灰度f1与f2，定义GC表达式为:

GC值越大，说明区域间差距越明显，图像的分割质量也就越好。

UM用来描述图像分割中各区域内部特性的均匀程度，定义UM表达式为:

式中，Ri表示分割图中的第i个区域，Ai为区域面积，C为归一化参量。UM值越大，表示分割后得到的目标与背景区域内部区域一致性越好，图像分割质量越好。

表2和表3中分别给出了4种算法分割结果的区域间对比度与区域内部均匀性参量，进一步说明了2维MAD-METS法对概率分布直方图呈偏斜分布和重尾分布的图像具有比2维Otsu法和2维METS法具有更准确的分割效果和更好的鲁棒性。

Table 2 Comparison of grey-level of different methods

Table 3 Comparison of uniformity measurement of different methods

表4中给出了4种算法的时间代价对比，由于2维MAD-METS法中离散测度(MAD)的求取比2维Otsu法与2维METS法中离散测度(方差值)的求取更为复杂，因而时间代价略大于2维Otsu法与2维METS法。

Table 4 Comparison of time cost of different methods/s

2维MAD-METS法中的离散测度MAD考虑了像素邻域内的中值信息，比采用与均值信息有关的方差作为离散测度的2维Otsu法和2维METS法更为鲁棒，较好地克服了2维Otsu法的对目标与背景方差较大、图像分割出现的阈值偏移和2维METS法对目标与背景分布为非正态分布而分割效果不佳的缺点。2维MAD-METS法虽然采用了分解降维的思想加快运算速度，但因为中值的求取比均值的求取要花费更多的时间代价，因而分割速度较2维Otsu法和2维METS法慢。

4 结论

针对2维METS法对直方图概率分布呈偏斜分布和重尾分布图像分割效果鲁棒性不理想且1维基于平均中值离差的METS法抗噪性差的问题，在2维METS法的基础上引入中值，用平均中值离差取代2维METS法中的方差，提出2维基于中值离差的METS法。实验结果表明，2维基于中值离差的METS法对直方图概率分布呈偏斜分布和重尾分布图像能更好地将目标区和背景区及噪声划分开，分割结果目标轮廓更为准确，相较于2维Otsu法和2维METS法，具有更为稳健的抗噪性和更理想的分割鲁棒性。同时，文中还对2维基于中值离差的最小误差法进行了分解降维，将算法复杂度从O(L4)降到O(L)，但由于算法中对中值的求取，花费了较大的时间代价，将在以后的研究中加以改进。

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