李丽丽

(菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274000)

线性规划模型在股市投资中的应用

李丽丽

(菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274000)

通过对线性规划模型和股市投资方法的分析,构建出在其上的基本数学模型,并对2014年第一季度5支股票平均收益率与风险损失率进行分析,构建出存款与证券投资相结合的无风险股市投资多目标线性规划模型,从而给出了在不同参变量取值下的投资组合,对投资者合理投资具有现实意义。

线性规划模型；经济管理；股市投资；多目标线性规划

我们正处于经济快速发展的时代,也是处于能够快速创造财富和积累财富的时代,人们手头上的可操作资金越来越多,同时越来越多的人想利用这些可操作资金通过股市理财来创造更多的收益。众所周知,理财是有风险的,对于一个投资者,应如何应用线性规划模型合理分配理财资金才能使风险最小且收益最大。通过对股市上几支股票进行评估,对投资者合理投资具有指导和现实意义。

随着2008年经济危机席卷全球,中国股票市场随之产生较大波动,曾经的一夜暴富演变成现今的资金被套,直接影响到了投资者后来的投资收益,股民们瞬间焦躁不安。为使投资者在一时间段内不会因资产被全部冻结而导致总体理财收益骤减的现状,本文将引入存款与证券投资相结合的无风险股市投资模型。

1 线性规划模型及其基本理论

1.1 线性规划模型的背景

中国是人力、物力丰富的国家,正从经济大国朝经济强国迈进。经济管理中的线性规划能够对我国经济的发展具有理论指导作用和现实意义。从起初的初等数学在经济中的简单应用到后来高等数学在经济活动分析中的广泛应用,形成了不同的经济管理模型。从苏联数学家康托洛维奇在1939年首次提出线性规划问题到美国经济学家库普曼斯在1951年首次把线性规划应用到经济领域,从理论上给线性规划在经济管理中的应用奠定了基础。从上世纪50年代开始,随着计算机技术的发展,对于线性规划模型的求解更加简单,随之线性规划模型在经济管理中的应用更加广泛,发展较快[1-3]。

1.2 线性规划模型的定义及其建立模型的方法

1.2.1 线性规划模型的定义

定义1 线性规划问题的常见形式为

目标函数:

约束条件:

其中:xj(j=1,2,…,n)为决策变量;aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为工艺系数;bi(i=1,2,…,m)为资源系数;cj(j=1,2,…,n)为价值系数,其构成一个线性规划数学模型。

定义2 线性规划问题的一般形式为

其中:行向量c=(c1,c2,…,cn)称为目标函数系数向量,列向量x=(x1,x2,…,xn)T称为决策变量,b=(b1,b2,…,bm)T称为右边向量,矩阵

称为约束系数矩阵。

于是线性规划也可表示为

(LP)mincx,

定义3 线性规划问题的标准形式为

同定义2中各向量的定义方法,可知线性规划也可表示为

(LP)mincx,

s.t. Ax=b

事实上,以上定义线性规划问题的3种形式都是等价的,也就是说,对于任一种形式的线性规划可以变为另一种形式,并且有相同的解。

定义4 一般在线性规划问题中,D={x|Ax=b,x≥0}称为线性规划(LP)的可行域。若x∈D,则称x为(LP)的可行解；若x*∈D且对任意x∈D有cx*≤cx,则称x*为(LP)的最优解,cx*为最优值。

1.2.2 建立线性规划模型的方法

1)找出其中所含的决策变量(关键在于分析达到目的的影响因素)。

2)确定目标函数(所谓的目标函数是指所要达到的目的与第一步所找出的决策变量之间的函数关系)。

3)写出约束条件(关键在于寻找决策变量所受的限制条件)。

2 股市投资方法

股市运行到每个阶段都有其主导的投资方法，投资者需要了解不同阶段起主导作用的操作规则[4]。每个阶段都有该阶段相适应的投资规则，只有找到最适合投资方法，才能取得理想的收益。对大盘的准确判断，是投资者能否做出正确操作个股的关键。股市里要“看对”两个方面：一是要看对大盘，二是要看对个股。认清大盘在不同阶段的特征，判断大盘处于哪个阶段，预测接下来的走势，并采取相应的投资方法。同时应该跟随市场的变化，变换投资方式。

另外可以用技术分析法选择股票的投资方法，建立数学模型，借助模型分析投资比例和收益大小的关系，参考模型得到的数据选择股票投资的方法。本文利用线性规划模型对股市投资进行建模和分析。

3 理性投资:多目标函数线性规划在股市投资中的应用

3.1 模型建立

模型建立之前首先做一些符号说明:xl为区间下限，xu为区间上限,那么称[xl，xu]为一个区间数;这里规定常数C用区间数[c,c]表示。

目标函数:

约束条件:

此类模型的求解通常是通过引进两个参变量α与β进行求解,其中α为风险偏好系数，β(0≤β≤1,β越趋于1,则投资者的投资收益越好)为目标函数优化水平参数。故上述多目标区间线性规划模型可以转化为带参量的单一目标线性规划模型。

3.2 实例分析

某一投资者想对人民网、东方网力、东方通信、欧比特、浙江医药等股票进行投资,投资者在投资前想对其进行评估。已知2014年第一季度中国银行活期存款利率为2.85%,各股票的证券编号以及2014年第一季度的风险损失率和平均收益率由各官方网站查出,如表1所示。

表1 分析实例的平均收益率和风险损失率

试寻找出合理的投资组合方式使收益最大且风险最小。

模型建立与求解:

设xit表示在时间段t内投资编号为i证券资金占总资金的比例,再根据上表所给出的数据,由此可以建立存款与证券投资相结合的无风险股市投资多目标区间数线性规划模型。

模型1 目标函数:

maxP(xt)=[0.0285,0.0285]x0t+

[0.328,0.330]x1t+[0.115,0.116]x2t+

[0.152,0.154]x3t+[0.456,0.458]x4t+

[0.266,0.268]x5t;

minQ(xt)=[0.0335,0.0337]x1t+

[0.0109,0.0111]x2t+[0.0148,0.0150]x3t+

[0.0460,0.0462]x4t+[0.0260,0.00262]x5t.

约束条件:

即求一组变量xij(i=0,1,2,3,4,5)的值,使目标函数maxP(xt)在上述约束条件下取值最大且minQ(xt)在上述约束条件下取值最小。

模型2 此类模型的求解通常是通过引进两个参变量α与β进行求解,其中α为风险偏好系数,β(0≤β≤1,β越趋于1,则投资者的投资收益越好)为目标函数优化水平参数。故将上述多目标区间线性规划模型进行优化，构建出等同于上述模型的带参量的单一目标线性规划模型。

目标函数:

maxz=

约束条件:

此模型可以通过MATLAB[7-8]数学软件进行求解,则求出的有效投资比例如表2所示。

表2 在不同参数下的投资比例与最优值

从以上数据可以看出：当α=0时，无论β取何值，都是将钱存入银行收益最大且风险最小；当α≠0时，无论β取何值，都是将钱投资欧比特收益最大且风险最小，同时也可以得出,无论α取何值，随着β的增大,收益是不减的。

4结束语

本文通过收益最大化和风险最小化两个方面建立目标函数,从而构建出多目标函数线性规划模型。通过引入参变量α与β,将多目标函数线性规划模型转化为常见的单目标函数线性规划模型。通过对参变量α与β的估值,可以得出在不同情形下对这几支股票和银行存款之间的合理组合,对理财投资者具有极其重要的理论指导意义,使投资更有效。

[1] 中国人民大学数学教研室.线性规划经济应用数学基础(四)[M].北京:中国人民大学出版社,1982：1-8.

[2] 刁在筠,刘桂真,宿洁,等.运筹学[M].3版.北京:高等教育出版社,2007：5-15.

[3] 束金龙,闻人凯.线性规划理论与模型应用[M].北京:科学出版社,2010：1-10.

[4] 林育鹏.现阶段中国股票投资方法试析[J].中国证券期货,2013(3):9-10.

[5] 路应金,唐小我,周宗放.证券组合投资的区间数线性规划方法[J].系统工程学报,2004，19(1):33-37.

[6] ROMELFANGER H.Linear programming with fuzzy objective[J].Fuzzy Sets and Systems，1994.66:301-306.

[7] 董霖.MATLAB[M].北京:科学出版社,2008：74-76.

[8] 谢中华，李国栋，刘焕进，等.MATLAB从零到进阶[M].北京:北京航空航天大学出版社,2012:308-314.

[责任编辑：刘文霞]

Application of linear programming model to the stock market investment

LI Li-li

(Department of Mathematics,Heze University，Heze 274000,China)

According to the analysis of the linear programming model and economic management，a basic mathematical model on it is constructed.Then，through the first quarter of 2014 the average yield and risk loss ratio analysis is made on five stocks，and a risk-free investment multi-objective linear programming model in the stock market is proposed combined with deposits and investment securities. The portfolio under different parametric values has practical significance for investors to initiate a reasonable investment.Key words：linear programming model;economic management;stock market investment;portfolio multi-objective linear programming

2014-11-10

李丽丽(1987-),女,助教，硕士，研究方向：网格计算与分布式操作系统.

F222

A

1671-4679(2015)02-0055-04