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Gainse-Rescher 系统基于子代数的广义重言式

2015-04-16李顺琴惠小静

计算机工程与应用 2015年19期
关键词:子代数广义修正

李顺琴,惠小静

LI Shunqin,HUI Xiaojing

延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安716000

College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an,Shaanxi 716000,China

1 引言

广义重言式理论是模糊逻辑的重要研究方向。自1998 年王国俊教授建立了修正的Kleene 系统和修正的Kleene 系统中的广义重言式理论[1-2]后,其他多值逻辑系统中的广义重言式理论也在蓬勃发展[3-12]。文献[3-5]分别讨论了修正的Go¨del 逻辑系统和Gainse-Rescher 逻辑系统中的广义重言式理论,文献[10]讨论了修正的Go¨del逻辑系统中子代数的广义重言式理论,文献[11]讨论了修正的Kleene 逻辑系统中子代数的广义重言式理论。本文将Gainse-Rescher 逻辑系统中的广义重言式理论进行推广和补充,讨论其序稠密子代数中的广义重言式理论。

2 基本知识

定义1[1]设S={p1,p2,…}是可数集,¬是一元运算,∨与→是二元运算,由S生成的(¬,∨,→)型自由代数记作F(S)。F(S)中的元素叫公式或命题,S中的元素叫原子公式或原子命题。

定义3设是[0,1]上的Gainse-Rescher 逻辑系统,E是的非空子集合,如果E关于中定义的¬,∨,→运算封闭,则称E是的子代数。

命题1E是的子代数当且仅当E在[0,1]中关于对称且{0,1}⊂E。

证明(必要性)因为E是的子代数,所以由定义2 和定义3 知,对∀x∈E,¬x=1-x∈E,因此E在[0,1]中关于对称。又由定义2 和定义3 知,对∀x,y∈E,x→y的值是1或0,而E关于→运算封闭,故{0 ,1} ⊂E。

(充分性)由定义3 知,只需证明E关于中定义的¬,∨,→运算封闭。由定义2 知E显然关于∨运算封闭,又由于E在[0,1]中关于对称,所以E关于¬运算封闭。下证E关于→运算封闭。由定义2 知,对∀x,y∈E,x→y的值是1 或0,而{0,1}⊂E,故E关于→运算封闭。

本文中提到的子代数都是指序稠密子代数,在不致引起混淆时将其简称为子代数。

定义4设E是的子代数,v:F(S)→E是映射,若v是(¬,∨,→)型同态,即

v(¬A)=¬v(A),v(A∨B)=v(A)∨v(B)

v(A→B)=v(A)→v(B)

则称v为F(S)在E中的赋值,其全体赋值之集记为Σ(E)。

定义5设A∈F(S),E为的子代数,α∈E:

(1)若∀v∈Σ(E),v(A)≥α(v(A)>α),则称A为E-α-重言式(E-α+-重言式),其全体之集记为α-T(E)(α+-T(E))。

(2)若A∈α-T(E),且∃v∈Σ(E),v(A)=α,则称A为可达E-α-重言式,其全体之集记为[α]-T(E)。

(3)若A∈α+-T(E),且∀ε>0,∃vε∈Σ(E),使得α<vε(A)<α+ε,则称A为可达E-α+- 重言式,其全体之集记作[α+]-T(E)。

特别地,E-1-重言式简称重言式,其全体之集记为T(E)。

以上定义的各种重言式统称为广义重言式,在不致引起混淆时前缀“E-”将略去。

引理1设E是的子代数,,映射定义为:

下面证明φ1保持¬运算。

因此,由(1)~(3)可知φ1保持¬运算。

定理1设E是的 子 代 数,,则。

定理2设E是的子代数,,则α-T(E)=T(E)。

则显然φ2是保序的双射,易证φ2是同构的映射。事实上,φ2显然保持∨运算和→运算,下面证明φ2也保持¬运算。

当x=1 时,φ2(¬1)=φ2(0)=0=¬φ2(1);

当x=0 时,φ2(¬0)=φ2(1)=1=¬φ2(0);

当x∈(0,1)∩E时,φ2(¬x)=(2α-1)(1-x)+(1-α)=-(2α-1)x+α¬φ2(x) = 1-φ2(x) = 1-[( 2α-1)x+(1-α)] =-(2α-1)x+α所以φ2(¬x)=¬φ2(x)。因此φ2也保持¬运算,这样就证明了φ2是E与Uα之间的同构的映射。

设A∈α-T(E),则∀v∈Σ(E),v(A)≥α。由于φ2是E与Uα之间的同构的映射,所以φ2v∈Σ(E),进而有φ2v(A)≥α且φ2v(A)∈Uα,从而只能φ2v(A)=1,由φ2的构造知v(A)=1,因此A∈T(E),即α-T(E)⊆T(E)。

定理3设E是的子代数,,则[α]-T(E)=∅。

定理4设E是的子代数,,则α+-T(E)=T(E)。

证明若A∈T(E),显然有A∈α+-T(E)。又若A∈α+-T(E),则∀v∈Σ(E),v(A)>α。由定理2的证明过程知φ2v:F(S)→{0,1}∪((1-α,α)∩E)是同态的复合,因此φ2v∈Σ(E),进而φ2v(A)>α且φ2v(A)∈{0,1}∪((1-α,α)∩E),故φ2v(A)=1,由φ2的构造知v(A)=1,因此A∈T(E)。

用类似的方法结合定义5 和引理1 可证定理5。

定理5设E是的子代数,,则。

定理6设E是的子代数,,则[α+]-T(E)=∅。

定理7设E是的子代数,α,β∈E且α≠β,则:

[α]-T(E)∩[β]-T(E)=∅

[α+]-T(E)∩[β]-T(E)=∅

[α]-T(E)∩[β+]-T(E)=∅

[α+]-T(E)∩[β+]-T(E)=∅

证明若[α]-T(E)∩[β]-T(E)≠∅,不妨设α>β,取A∈[α]-T(E)∩[β]-T(E),则∀v∈Σ(E),v(A)≥α且v(A)≥β,注意到α>β,所以∀v∈Σ(E),v(A)≥α。而由A∈[β]-T(E)知存在v0∈Σ(E),使得v0(A)=β<α,矛盾。所以[α]-T(E)∩[β]-T(E)=∅。

其余各式用类似方法可证。

定理8设E是的子代数,则关于E而言F(S)有如下的分划:

证明(1)由定义5 知集族中任意两成员之交为空集,且由定理3 和定理6 可知它们的并集是F(S),因此只需验证它们均为非空集合即可。

v(C)=1-v(A)=0,因此C∈[0]-T(E)。

(2)可类似证明。

4 结论

本文将广义重言式理论进行推广和扩充,讨论了Gainse-Rescher 逻辑系统中基于序稠密子代数的广义重言式理论,并利用可达广义重言式概念在的序稠密子代数中给出公式集F(S)的一个分划。关于Gainse-Rescher 逻辑系统中离散子代数上的广义重言式理论,将另文讨论。

[1] 王国俊.修正的Kleene系统中Σ-(α-重言式)理论[J].中国科学:E 辑,1998,28(2):146-152.

[2] 王国俊.非经典数理逻辑与近似推理[M].北京:科学出版社,2000.

[3] 吴洪博.Go¨del 逻辑系统中的广义重言式理论[J].模糊系统与数学,2000,14(4):53-59.

[4] 吴洪博.Go¨del 系统中一种降级算法及性质[J].四川大学学报:自然科学版,2003,40(6):997-1001.

[5] 吴洪博,阎满富.Gainse-Rescher 逻辑系统中的广义重言式理论[J].四川大学学报:自然科学版,2000,37(5):675-682.

[6] 王龙春,王国俊.R0-代数[0,1]的子代数与广义重言式[J].数学学报,2004,47(3):521-526.

[7] 黄阿敏,裴道武.系统RDP 中的广义重言式理论[J].模糊系统与数学,2010,24(4):6-11.

[8] 裴道武.积逻辑系统中的广义重言式[J].模糊系统与数学,2002,16(4):19-27.

[9] 刘练珍,李开泰.修正的Product逻辑中的广义重言式理论[J].模糊系统与数学,2005,19(1):12-17.

[10] 李顺琴,王国俊.修正的Go¨del 逻辑系统中子代数的广义重言式理论[J].计算机工程与应用,2008,44(36):58-60.

[11] 魏海新.修正的Kleene 逻辑系统中子代数的广义重言式理论[J].计算机工程与应用,2009,45(22):32-33.

[12] 李修清.Go¨del 逻辑系统中1/2-子代数上的广义重言式理论[J].计算机工程与应用,2011,47(5):43-45.

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