师洪涛 卓 放 杨 祯 侯李祥 岳小龙 张 东

基于改进正弦调制电流注入的三相交流电源系统谐波阻抗测量研究

师洪涛 卓 放 杨 祯 侯李祥 岳小龙 张 东

（西安交通大学电气工程学院 西安 710000）

三相交流电源系统在三相静止坐标系下的谐波阻抗参数是对系统进行谐波估计、滤波器设计等谐波分析的重要参数。但在采用基于阻抗的稳定性判据对交流系统进行稳定性分析时，需要得到系统在dq坐标系下的谐波阻抗参数。推导了系统中典型元件在dq坐标系下的谐波阻抗模型；提出了一种改进的基于正弦调制电流注入的交流系统谐波阻抗测量方法；搭建了三相交流系统的仿真模型，并开发了交流系统谐波阻抗测量装置。仿真与实验结果验证了理论分析的正确性与有效性。

谐波阻抗 测量 正弦调制 电流注入

1 引言

系统的谐波阻抗是对电力系统的滤波器设计、谐波畸变率计算等分析及对系统进行稳定性分析的重要参数[1-10]。1976年，Middlebrook提出基于阻抗的系统稳定性判据，并应用于直流系统中[3]。采用阻抗判据对系统的稳定性进行分析时，即将系统等效成电源部分与负载部分，通过判定电源部分的输出阻抗与负载部分的输入阻抗之间的关系，可方便准确地对系统稳定性进行分析[3-5]，因此得到了广泛应用[6-8]。在交流系统中，影响系统稳定性的因素，如系统的结构参数或者控制参数等，均与系统的阻抗具有一定联系[9-12]。当采用基于阻抗参数的判据对系统的稳定性进行分析时，需要测量系统在dq坐标系下的阻抗矩阵[12-14]，即通过判定系统谐波阻抗（导纳）矩阵的G-范数[13]或∞-范数[14]来分析系统的稳定性。

因此，系统的谐波阻抗参数是对系统进行谐波分析及稳定性分析的重要参数。如何准确获取系统的阻抗参数，得到了国内外学者的广泛研究[6-20]。主要的阻抗测量方法分为非干扰式与干扰式两种。非干扰的方法是利用系统本身的电压、电流参数，通过数学计算统计方法，得到系统的谐波阻抗。其测量过程需要大量的数据，适用范围及测量准确度亦有待提高[15]。采用干扰的方法测量系统的谐波阻抗，是对系统注入一个电压扰动或者电流扰动[16-20]，通过测量其相应的响应电流或者响应电压，代入相应算法中，测量系统的谐波阻抗。注入扰动源可以是系统已有的装置，如电容器，但其注入的扰动不可控。也可以采用一个专用的谐波发生器对系统注入一个波形、频率、幅值等均可控的扰动，测量的准确度大大提高。

在对系统进行谐波分析等相关计算时，只需测量系统在三相静止坐标系的谐波阻抗便可以满足要求。三相交流系统在三相静止坐标系下的阻抗测量不需要对注入的扰动信号进行调制与变换，且已经得到了较多的研究[16-19]。在采用基于阻抗的稳定性判据对交流系统稳定性进行分析时，需要测量得到dq坐标系下的谐波阻抗矩阵。

为了测量得到三相交流系统在 dq坐标系下的谐波阻抗，往往需要对等效至dq坐标系下的系统注入一系列的调制谐波，并采用相应算法得到对应的谐波阻抗。再通过dq反变换的方法，得到需要对实际的三相系统中注入的谐波扰动。文献[12]提出一种基于调频的谐波注入方法，其对系统注入一个调频的正弦电流，得到系统在dq坐标下的谐波阻抗；文献[20]提出一种三相正弦调制注入方法，即通过对系统注入三相正弦调制电流得到系统谐波阻抗。

针对三相交流系统在 dq坐标系下的谐波阻抗测量问题，本文首先推导了三相交流电源系统在dq坐标系下的谐波阻抗模型，用于定量分析系统的阻抗。并提出了一种改进的基于正弦调制电流注入的谐波阻抗测量方法，即基于不对称的调制电流相间注入法，测量三相交流电源系统在dq坐标系下的谐波阻抗；开发交流系统谐波阻抗测量实验装置。最后实验验证了理论分析的正确性与有效性。

2 三相交流系统dq坐标系下的阻抗模型

三相交流系统如图1所示，可以将系统等效为电源与负载两个部分。

图1 三相交流系统示意图Fig.1 Three-phase AC system diagram

以负载部分为例，在三相静止坐标系下，其负载电压与负载电流满足

在dq坐标系中，负载电压与负载电流满足

由于电路中各部分阻抗均可以等效为电阻、电容、电感的串并联网络，为了得到其在dq坐标系下的等效谐波阻抗，首先研究系统中典型元件在 dq坐标系下不同频率的谐波阻抗模型，进而通过串、并联方式，可以得到系统各部分在dq坐标系中不同频率下的阻抗模型。应用基于谐波阻抗的稳定性判据，可以对系统的稳定性进行分析。

2.1 电阻R在dq坐标系下的谐波阻抗模型

在三相静止坐标系下，电路中的电阻若阻值为R，其两端的电压与电流满足以下方程

若将式（3）两边均左乘dq变换矩阵T（设其中的基波角频率为ω0），则可得

上式经拉普拉斯变换以后，可得

因此，电阻R在dq坐标系下的谐波阻抗为

2.2 电感 L在 dq坐标系下的谐波阻抗模型

在 abc坐标系下，若电感为 L，其两端电压与电流满足

对上式同时左乘dq变换矩阵 T，则可得

又因为

因此有

将式（10）代入式（8）中，由 u0、i0均为零可得

将式（11）进行拉普拉斯变换，可得

因此，电感在dq坐标系下的阻抗矩阵为

2.3 电容 C在 dq坐标系下的谐波阻抗模型

在三相静止坐标系下，电容电压与电容电流满足方程

方程左乘dq变换矩阵T后，可得

类似于上述电感方程式（8）的处理，可得

代入式（8），并经拉普拉斯变换后可得

因此，电容C在dq坐标系下谐波阻抗矩阵为

2.4 负载网络在 dq坐标系下的阻抗模型

对R、L、C电路串、并联网络，其在dq坐标系下阻抗模型可由上述各元件的等效模型运算得到。

对于图1中所示的负载，若负载可等效为R、L的串联网络，则负载两端电压与电流满足方程

以上方程左乘dq变换矩阵T，拉普拉斯变换后可得

将式（5）与式（12）代入式（20）中，可得R、L负载在dq坐标系下的阻抗模型为

3 改进的三相交流系统阻抗测量方法

3.1 谐波电流注入的谐波阻抗测量方法基本原理

采用对系统注入一个电流扰动的方法测量系统的谐波阻抗，首先对系统的某一节点注入一个幅值、频率等均可控的谐波电流，采用检测装置检测系统节点处的谐波电流 ip及对应的谐波电压 up。对谐波电流及谐波电压求其傅里叶变换，由此可计算系统的谐波阻抗为

对于三相交流系统在 abc坐标系下的谐波阻抗，可采用这种基本的方法进行测量。

3.2 三相交流系统dq坐标系下的阻抗测量方法

通过上述建模分析可知，三相交流系统在 dq同步旋转坐标系中，电压与电流之间的关系可记为

为了测量系统在dq坐标下的谐波阻抗，需要对等效至 dq坐标系下的系统注入谐波扰动。若扰动信号的频率为ωh，则扰动电压与扰动电流之间的关系为

由式（24）可知，阻抗矩阵包含4个独立的未知量，因此若要解出频率ωh处的谐波阻抗矩阵，需要对此频率点注入两组扰动，扰动与阻抗矩阵之间的关系可表示为

此时，通过矩阵计算，系统的阻抗矩阵可由下式得到

在矩阵求解中，为了能够求解逆矩阵，对系统注入的两组扰动必须是线性独立的，因此需要对注入的扰动信号进行调制。

在现有的测量方法的基础上，本文提出一种改进的基于正弦调制电流注入的阻抗测量方法，用来测量三相交流系统在 dq坐标系下的谐波阻抗矩阵。

首先采用一个单相的谐波电流发生装置对三相对称的交流系统任意两相之间注入一个单相调制的正弦电流，其注入示意图如图 2所示。

图2 谐波电流注入示意图Fig.2 Impedance measurement based on harmonic current injection

测量流程如图3所示。调制电流由一个初相位为ω0的基波电流（角频率为ω0）与一个初相位为φk的k次谐波电流（角频率为ωk）相乘得到。若电流从b相注入，从c相流出，则各相中的电流扰动分别为

图3 改进的调制电流注入阻抗测量流程Fig.3 The flowchart of proposed current injection

采用对称变换，可以将注入的不对称谐波转换成三相对称的正序分量与负序分量。转换公式为

变换后的正序分量为

将正序分量进行dq变换，可以得到

改变调制电流中基波的初相位为φ1，谐波电流的角频率与初相位保持不变，按照上面的注入顺序重新注入、计算，可以得到此次 dq坐标系下的谐波电流为

可以看出，式（30）与式（31）为线性不相关的两组谐波电流。结合谐波电流对应的谐波电压，代入至式（26）中，便可测量出频率ωk-1处的谐波阻抗。同理，可以通过注入扰动的方法测量出其他频率处的阻抗。

采用对称变换法，将三相调制电流注入方式改进为单相调制电流注入，降低了设备成本，提高了注入测量效率。

4 实验验证

4.1 仿真结果

在 PSCAD中搭建了图 2中所示的三相交流系统的仿真模型，并采用本文所提出的谐波电流注入法测量了系统在三相静止坐标系下与 dq坐标系下的谐波阻抗。在三相交流电源系统的b相与c相之间注入调制的谐波电流。系统的基波电压为220V，频率为 50Hz，负载电阻为 20Ω，电感为 2mH。采用上述提出的调制电流注入法测量系统的谐波阻抗。由于电源侧与负载测量结果类似，因此，此处仅给出负载侧的测量结果。

图4所示为负载在abc坐标系下的谐波阻抗的幅频特性与相频特性。从图中可以看出测量出的谐波阻抗呈阻感性，与理论值一致。

图4 交流负载在abc坐标系的仿真值与理论值Fig.4 The impedance curves of AC load in abc coordinate

图5 ～图8为负载在dq坐标系下的谐波阻抗。从图中可以看出，在dq坐标系下，负载在d轴与q轴之间的自阻抗（Zdd与 Zqq）是相同的，互阻抗（Zdq与

Zqd）具有相同的幅频特性，但相频特性相差180°，与理论值推导一致。验证了所提出的测量方法的可行性。

图5 交流负载在dq坐标系的仿真值与理论值(Zdd)Fig.5 The impedance curves of AC load in dq coordinate(Zdd)

图6 交流负载在dq坐标系的仿真值与理论值(Zqq)Fig.6 The simulation impedance curves of AC load in dq coordinate(Zqq)

图7 交流负载在dq坐标系的仿真值与理论值(Zdq)Fig.7 The simulation impedance curves of AC load in dq coordinate(Zdq)

图8 交流负载在dq坐标系的仿真值与理论值(Zqd)Fig.8 The simulation impedance curves of AC load in dq coordinate(Zqd)

4.2 实验验证分析

为了进一步验证所提出的测量方法的有效性及实用性，在实验室中搭建了如图2所示的三相交流电源系统实验平台，平台中的各项参数与仿真模型的参数相同。基于以上分析，开发了交流系统谐波阻抗测量装置，如图9所示。

图9 交流系统谐波阻抗测量实验装置Fig.9 Harmonic impedance measurement unit

交流系统谐波阻抗测量装置主要由谐波发生电路、功率放大电路、谐波注入电路、检测及数据采集电路和上位计算机组成。其中谐波发生电路用来产生测量所需要的谐波电压信号；功率放大电路用来将前级的谐波信号进行功率放大；谐波注入电路用来实验电压与电流的转换，并将谐波电流注入至系统中；检测采集电路，对电路中的电压信号与电流信号进行实时采集，并送入至上位计算机中；最后由上位机中的对应程序完成阻抗的计算与分析。

经过实时阻抗测量，得到的实验测量结果如图10～图 14所示。图 10为系统中负载部分在三相静止坐标系下的谐波阻抗曲线。图 11、图 12为负载在dq坐标系下d轴方向与q轴方向的自阻抗（Zdd与 Zqq），二者具有相同的幅频特性与相频特性；图13、图14为d轴与q轴之间的互阻抗（Zdq与Zqd）测量曲线，二者具有相同的幅频特性，但相频特性相差180°。

图10 交流负载在abc坐标系的测量值与理论值Fig.10 The impedance curves of AC load in abc coordinate

图11 交流负载在dq坐标系的实验测量值与理论值(Zdd)Fig.11 The experiment impedance curves of AC load in dq coordinate(Zdd)

图12 交流负载在dq坐标系的实验测量值与理论值(Zqq)Fig.12 The experiment impedance curves of AC load in dq coordinate(Zqq)

图13 交流负载在dq坐标系的实验测量值与理论值(Zdq)Fig.13 The experiment impedance curves of AC load in dq coordinate(Zdq)

图14 交流负载在dq坐标系的实验测量值与理论值(Zqd)Fig.14 The experiment impedance curves of AC load in dq coordinate(Zqd)

相比于仿真结果，图中的阻抗测量结果与理论值之间具有一定的误差，主要是由于采用传感器与数据采集卡进行数据采集时引入的误差。相对于自阻抗的测量值，互阻抗的测量值在高频部分具有较大的误差，这是由于互阻抗（Zdq与 Zqd）的数值偏小，在数据采集及阻抗计算的过程中，对数据的误差更为敏感。整体上谐波阻抗的测量曲线与理论值一致，验证了理论分析的有效性与实用性。

5 结论

系统的谐波阻抗参数是对系统进行谐波分析与基于阻抗判据的稳定性分析的基础，本文推导了系统中典型元件在dq坐标系下的谐波阻抗模型，并通过元件的级联关系，进一步得到系统每一部分的等效谐波阻抗模型。提出了改进的基于调制电流注入的谐波阻抗测量方法，在有效测量系统的谐波阻抗的同时，降低了系统的复杂度及成本。搭建了系统的仿真模型，并开发了交流系统谐波阻抗测量装置。仿真结果与实验结果表明，系统在dq坐标系下的自阻抗具有相同的幅频特性与相频特性，而互阻抗的幅频特性相同，相频特性相差180°，与理论值一致。验证了理论分析的有效性与实用性。

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Study of Harmonic Impedance Measurement for Three-Phase AC Power System Based on an Improved Modulated Current Injection Method

Shi Hongtao Zhuo Fang Yang Zhen Hou Lixiang Yue Xiaolong Zhang Dong

（School of Electrical Engineering Xi’an Jiaotong University Xi’an 710000 China）

The harmonic impedance of system in static three-phase coordinates is the key parameter to estimate the harmonic in system. In the stability analysis of system based on impedance criterion, the harmonic impedance in dq coordinates must be extracted. The harmonic impedance models of typical elements in power system are derived. An improved impedance measurement method based on modulated current injection is proposed. A simulation model of three-phase ac system is developed in PSCAD and an impedance measurement unit is implemented. Both the simulation and experimental results validate the effectiveness of the proposed method.

Harmonic impedance, measurement, modulated current, current injection

TM76

师洪涛 男，1984年生，博士研究生，研究方向为微型电网的稳定性分析与控制分布式发电局域网系统的电能反应控制技术。

国家自然科学基金项目（51177130），台达2011电力电子科教发展计划重点项目（DREK2011002）。

2013-07-22 改稿日期 2014-02-16

卓 放 男，1962年生，教授，博士生导师，研究方向为分布式发电系统及微网的分析、建模与控制。